n° 101

La médiatrice de $\left[A;B\right]$ passe par le milieu $I$ de $\left[A;B\right]$ et admet $\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal.

$$I\left(\frac{-3+5}{2};\frac{1+5}{2}\right)=I(1;3),\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)\text{, colineˊaire aˋ }\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$

D'où l'équation

$$2(x-1)+1\times (y-3)=0⟺2x+y-5=0.$$

Contrôle : un point de la médiatrice doit être équidistant de $A$ et $B$. Prenons $M(0;5)$, qui vérifie $0+5-5=0$ : $M{A}^2=9+16=25$ et $M{B}^2=25+0=25$ — égalité. ✓

Piège : garder $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ n'est pas faux, mais l'équation $8x+4y-20=0$ gagne à être simplifiée par $4$.