Repère de l'espace (programme de terminale)

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Distances, paramétrages et espace

Énoncé

Repère de l'espace (programme de terminale). Dans un repère orthonormé de l'espace, $A (1; 2; 3)$ et $B (4; 6; 3)$ . Calculer $A B$ , puis donner une équation de la sphère de centre $A$ et de rayon $A B$ . (Les formules de distance et d'équation de cercle se transposent en ajoutant une troisième coordonnée.)

Corrigé

Distance $A B$ . La formule de seconde s'étend en ajoutant le carré de l'écart des cotes :

$A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} + (3 - 3)^{2} = 9 + 16 + 0 = 25 = 5.$

(Les deux points ont la même cote $z = 3$ : ils sont dans un même plan horizontal, et l'on retrouve le triangle de côtés $3$ , $4$ , $5$ .)

Sphère de centre $A$ et de rayon $5$ . Un point $M (x; y; z)$ lui appartient si et seulement si $A M = 5$ , c'est-à-dire $A M^{2} = 25$ :

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25.$

Contrôle : $B (4; 6; 3)$ doit être sur la sphère : $9 + 16 + 0 = 25$ ✓.

Prolongement : en terminale, on munit l'espace d'un repère orthonormé et le produit scalaire s'y écrit $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ — toutes les méthodes de ce chapitre (vecteur normal, projeté, distance) s'y transposent mot pour mot, la droite du plan devenant un plan de l'espace.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.