Représentation paramétrique (notion de terminale)

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 9 — Géométrie repérée · Distances, paramétrages et espace

Énoncé

Représentation paramétrique (notion de terminale). La droite passant par $A (1; - 2)$ et de vecteur directeur $u (34)$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 3 t; - 2 + 4 t)$ , $t$ décrivant $R$ . Retrouver son équation cartésienne, et donner le point correspondant à $t = 2$ . (Éliminer $t$ entre les deux coordonnées.)

Corrigé

Équation cartésienne. On élimine $t$ entre $x = 1 + 3 t$ et $y = - 2 + 4 t$ :

$t = \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{4} ⟺ 4 (x - 1) = 3 (y + 2) ⟺ 4 x - 3 y - 10 = 0.$

Contrôle : $A (1; - 2)$ vérifie $4 + 6 - 10 = 0$ ✓, et le vecteur normal $(4 - 3)$ lu sur l'équation est bien orthogonal à $u (34)$ : $12 - 12 = 0$ ✓.

Point de paramètre $t = 2$ : $(1 + 6; - 2 + 8) = (7; 6)$ , qui vérifie $28 - 18 - 10 = 0$ ✓.

Ce que le paramétrage apporte de plus : l'équation cartésienne décrit la droite comme un ensemble ; la représentation paramétrique la parcourt, chaque valeur de $t$ désignant un point précis. C'est pourquoi elle est indispensable en cinématique — et, en terminale, dans l'espace, où une droite ne peut plus être décrite par une seule équation.

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