Soit C : x² + y² - 4x + 2y - 20 = 0. - Déterminer le centre et le…

Géométrie repérée · Cercles : équations, tangentes et intersections · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ .

Déterminer le centre et le rayon de $C$ .
Déterminer les points d'intersection de $C$ et de la droite d'équation $y = x + 2$ .
Discuter, selon le réel $m$ , le nombre de points communs de $C$ et de la droite $y = x + m$ .

Corrigé

1. Complétion des carrés : $(x - 2)^{2} - 4 + (y + 1)^{2} - 1 - 20 = 0$ , soit $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ : centre $Ω (2; - 1)$ , rayon $5$ .

2. On reporte $y = x + 2$ :

$(x - 2)^{2} + (x + 3)^{2} = 25 ⟺ 2 x^{2} + 2 x - 12 = 0 ⟺ x^{2} + x - 6 = 0.$

Somme $- 1$ , produit $- 6$ : $x = 2$ ou $x = - 3$ . Les points sont $(2; 4)$ et $(- 3; - 1)$ .

3. On reporte $y = x + m$ :

$(x - 2)^{2} + (x + m + 1)^{2} = 25 ⟺ 2 x^{2} + (2 m - 2) x + (m + 1)^{2} - 21 = 0.$

Son discriminant vaut

$Δ = (2 m - 2)^{2} - 8 [(m + 1)^{2} - 21] = - 4 m^{2} - 24 m + 164 = - 4 (m^{2} + 6 m - 41) .$

Or $m^{2} + 6 m - 41$ a pour racines $- 3 \pm 52$ (discriminant $36 + 164 = 200$ ). Donc : deux points communs si $- 3 - 52 < m < - 3 + 52$ ; un seul (tangence) si $m = - 3 \pm 52$ ; aucun sinon.

Contrôle : la droite $x - y + m = 0$ est tangente lorsque la distance de $Ω$ à la droite vaut $5$ , c'est-à-dire $\frac{∣2 + 1 + m ∣}{2} = 5$ , soit $∣ m + 3∣ = 52$ : mêmes valeurs. Et $m = 2$ est bien dans l'intervalle ( $- 3 + 52 \approx 4, 07$ ), en accord avec la question 2.