Soit C : x² + y² - 4x + 2y - 20 = 0. - Déterminer le centre et le…

1. Complétion des carrés : $(x-2{)}^2-4+(y+1{)}^2-1-20=0$, soit $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ : centre $\Omega (2;-1)$, rayon $5$.

2. On reporte $y=x+2$ :

$$(x-2{)}^2+(x+3{)}^2=25⟺2x^2+2x-12=0⟺x^2+x-6=0.$$

Somme $-1$, produit $-6$ : $x=2$ ou $x=-3$. Les points sont $(2;4)$ et $(-3;-1)$.

3. On reporte $y=x+m$ :

$$(x-2{)}^2+(x+m+1{)}^2=25⟺2x^2+(2m-2)x+(m+1{)}^2-21=0.$$

Son discriminant vaut

$$\Delta =(2m-2{)}^2-8\left[(m+1{)}^2-21\right]=-4m^2-24m+164=-4\left(m^2+6m-41\right).$$

Or $m^2+6m-41$ a pour racines $-3\pm 5\sqrt{2}$ (discriminant $36+164=200$). Donc : deux points communs si $-3-5\sqrt{2}<m<-3+5\sqrt{2}$ ; un seul (tangence) si $m=-3\pm 5\sqrt{2}$ ; aucun sinon.

Contrôle : la droite $x-y+m=0$ est tangente lorsque la distance de $\Omega$ à la droite vaut $5$, c'est-à-dire $\frac{|2+1+m|}{\sqrt{2}}=5$, soit $|m+3|=5\sqrt{2}$ : mêmes valeurs. Et $m=2$ est bien dans l'intervalle ($-3+5\sqrt{2}\approx 4,07$), en accord avec la question 2.