Soit D : x + 3y - 6 = 0. Donner un vecteur normal et un vecteur…

Les coefficients de $x$ et de $y$ se lisent directement : $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ est normal à $\mathcal{D}$, et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$ en est un vecteur directeur.

Parallèle passant par $A$. Une parallèle à $\mathcal{D}$ admet le même vecteur normal : son équation est de la forme $x+3y+c=0$. Le point $A(2;-1)$ donne $2+3\times (-1)+c=0$, soit $c=1$ :

$$x+3y+1=0.$$

Perpendiculaire passant par $A$. Un vecteur normal de la perpendiculaire est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$, soit $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$ :

$$-3(x-2)+1\times (y+1)=0⟺-3x+y+7=0⟺3x-y-7=0.$$

Contrôle : $A$ vérifie les deux équations ($2-3+1=0$ et $6+1-7=0$), et $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)=-3+3=0$ confirme que les deux droites obtenues sont bien perpendiculaires. ✓

Erreur attendue : prendre $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ pour directeur. Il faut échanger les coefficients et changer un signe.