Cinq appartenances et inclusions à trancher

(a) Fausse. $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire des entiers positifs ou nuls. Or $-3<0$, donc $-3\notin \mathbb{N}$. (En revanche $-3\in \mathbb{Z}$.)

(b) Vraie. $\frac{4}{2}=2$, et $2$ est un entier naturel. Ce qui compte est la valeur du nombre, pas son écriture.

(c) Vraie. Tout entier relatif $n$ s'écrit $n=\frac{n}{1}$, quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul : c'est donc un rationnel. Tout élément de $\mathbb{Z}$ appartient à $\mathbb{Q}$, d'où l'inclusion $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$.

(d) Fausse. $\sqrt{9}=3$ car $3^2=9$ et $3\ge 0$. Or $3=\frac{3}{1}$ est un rationnel, donc $\sqrt{9}\in \mathbb{Q}$.

(e) Vraie. $0$ et $1$ sont deux entiers naturels : les deux éléments de $\{0;1\}$ appartiennent à $\mathbb{N}$, donc $\{0;1\}\subset \mathbb{N}$.