Compter les sous-ensembles d'un ensemble

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Ensembles, inclusion et cardinal

Énoncé

Soit $E = {a; b; c}$ . Écrire la liste de tous les sous-ensembles de $E$ (sans en oublier), puis dire combien il y en a. Combien un ensemble à quatre éléments possède-t-il de sous-ensembles ? Justifier sans les écrire tous.

Corrigé

La liste. On classe les sous-ensembles selon leur nombre d'éléments.

$0$ élément : $\emptyset$ .
$1$ élément : ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ .
$2$ éléments : ${a; b}$ , ${a; c}$ , ${b; c}$ .
$3$ éléments : ${a; b; c} = E$ .

Cela fait $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ sous-ensembles.

Le comptage général. Pour fabriquer un sous-ensemble de $E$ , on décide, pour chaque élément, s'il est pris ou non : deux possibilités pour $a$ , deux pour $b$ , deux pour $c$ , et ces choix sont indépendants. Il y a donc $2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8$ sous-ensembles, ce qui confirme la liste.

Avec quatre éléments. Le même raisonnement donne $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{4} = 16$ sous-ensembles.

Remarque. Les deux sous-ensembles $\emptyset$ et $E$ font partie de la liste : ne pas les oublier est l'une des difficultés de cet exercice.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.