Deux parties décrites par une condition

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Ensembles, inclusion et cardinal

Énoncé

Soit $E = {- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$ , $A = {x \in E ∣ x^{2} \leq 4}$ et $B = {x \in E ∣ x > 0}$ . Écrire $A$ et $B$ en extension, puis déterminer $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A$ (complémentaire de $A$ dans $E$ ) et $Card (A \cup B)$ .

Corrigé

Écriture en extension. On teste chaque élément de $E$ .

$(- 3)^{2} = 9 > 4$ : $- 3 \in / A$ . $(- 2)^{2} = 4 \leq 4$ : $- 2 \in A$ . $(- 1)^{2} = 1$ , $0^{2} = 0$ , $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ : ces quatre nombres sont dans $A$ . $3^{2} = 9 > 4$ : $3 \in / A$ .

Donc $A = {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ et $B = {1; 2; 3}$ .

Les opérations.

$A \cap B$ rassemble les éléments qui sont dans $A$ et dans $B$ : $A \cap B = {1; 2}$ .
$A \cup B$ rassemble ceux qui sont dans $A$ ou dans $B$ : $A \cup B = {- 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$ .
$A$ rassemble les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ : $A = {- 3; 3}$ .
$Card (A \cup B) = 6$ .

Contrôle. $Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B) = 5 + 3 - 2 = 6$ : on retrouve bien $6$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.