mathématiques (seconde) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Deux prétendues équivalences à examiner

Vocabulaire ensembliste et logique · Implication, réciproque et équivalence · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Parmi les énoncés suivants, dire lesquels sont des équivalences (justifier par un contre-exemple si ce n'en est pas une) :

$(a) x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = 3; (b) x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Corrigé

(a) Ce n'est pas une équivalence : $x = - 3$ vérifie $x^{2} = 9$ mais pas $x = 3$ . (L'équivalence correcte est $x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = 3$ ou $x = - 3$ .)
(b) C'est une équivalence : $x - 1 = 0$ et $x = 1$ sont vraies exactement dans le même cas.

La droite $y = 9$ coupe la parabole en deux points : l'équation $x^{2} = 9$ a deux solutions, $- 3$ et $3$ .

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