Quatre quantifications à trancher

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Propositions, négation et contre-exemple

Énoncé

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant :

« pour tout réel $x$ , on a $x^{2} \geq 0$ » ;
« il existe un entier naturel $n$ tel que $n^{2} = 10$ » ;
« il existe un réel $x$ tel que $x + 2 = 2$ » ;
« pour tout entier naturel $n$ , $n^{2}$ est pair ».

Corrigé

1. Vraie : le carré d'un réel est toujours positif ou nul.<br> 2. Fausse : $3^{2} = 9$ et $4^{2} = 16$ , donc aucun entier naturel n'a pour carré $10$ ( $10$ n'est pas un carré parfait).<br> 3. Vraie : le réel $x = 0$ convient ( $0 + 2 = 2$ ) — un seul exemple suffit pour « il existe ».<br> 4. Fausse : contre-exemple $n = 3$ , car $3^{2} = 9$ est impair.

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