Retrouver le nombre d'élèves bilingues

Notons $A$ l'ensemble des élèves étudiant l'espagnol et $B$ celui des élèves étudiant l'allemand. On sait que $\mathrm{Card}(A)=19$ et $\mathrm{Card}(B)=15$.

Combien étudient au moins une langue. Les élèves qui n'étudient aucune des deux sont exactement ceux qui ne sont ni dans $A$ ni dans $B$ ; il y en a $4$. Donc $$\mathrm{Card}(A\cup B)=32-4=28.$$

Les deux langues. La formule de la réunion donne $$\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B),$$ c'est-à-dire $28=19+15-\mathrm{Card}(A\cap B)$, soit $28=34-\mathrm{Card}(A\cap B)$. On en tire $$\mathrm{Card}(A\cap B)=34-28=6.$$ Six élèves étudient donc les deux langues.

Espagnol seulement. Parmi les $19$ hispanisants, $6$ font aussi de l'allemand : il en reste $19-6=13$ qui n'étudient que l'espagnol.

Contrôle. $13$ (espagnol seul) $+6$ (les deux) $+(15-6)=9$ (allemand seul) $+4$ (aucune) $=13+6+9+4=32$ : on retrouve l'effectif de la classe.