Traduire « et » et « ou » par des intervalles

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Connecteurs, négation et quantification

Énoncé

Décrire, sous forme d'un intervalle, d'une réunion d'intervalles ou de l'ensemble vide, l'ensemble des réels $x$ vérifiant : (a) « $x \geq 2$ et $x \leq 5$ » ; (b) « $x \leq 0$ ou $x \geq 4$ » ; (c) « $x > 1$ et $x < 0$ » ; (d) « $x \geq 3$ ou $x \leq 3$ ».

Corrigé

(a) Le « et » impose les deux conditions en même temps : $2 \leq x \leq 5$ . L'ensemble est l'intervalle $[2; 5]$ .

(b) Le « ou » réunit les deux possibilités. L'ensemble est $] - \infty; 0] \cup [4; + \infty [.$ Attention : ce n'est pas un intervalle, car par exemple $2$ n'y est pas alors qu'il est situé entre $0$ et $4$ .

(c) Il faudrait avoir à la fois $x > 1$ et $x < 0$ , donc $1 < x < 0$ : impossible, car $1 > 0$ . L'ensemble des solutions est vide : $\emptyset$ .

(d) Tout réel vérifie l'une au moins des deux conditions : si $x \geq 3$ la première est vraie, sinon $x < 3$ donc $x \leq 3$ et la seconde est vraie. L'ensemble est $R$ tout entier.

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