Une parité obtenue par disjonction des cas

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Types de raisonnement

Énoncé

Par disjonction des cas selon la parité de $n$ , montrer que $n^{2} + n + 2$ est pair pour tout entier $n$ .

Corrigé

$n^{2} + n = n (n + 1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair (l'un des deux est pair). En ajoutant $2$ (pair), $n^{2} + n + 2$ reste pair. On peut aussi détailler : si $n = 2 k$ , $n^{2} + n + 2 = 2 (2 k^{2} + k + 1)$ ; si $n = 2 k + 1$ , $n^{2} + n + 2 = 2 (2 k^{2} + 3 k + 2)$ . Dans les deux cas, c'est un multiple de $2$ .

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