Vrai ou faux : quatre propositions avec « et » et « ou »

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Propositions, connecteurs et négation

Énoncé

Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant : (a) « $2 < 3$ et $5$ est pair » ; (b) « $2 < 3$ ou $5$ est pair » ; (c) « $- 1 > 0$ ou $(- 1)^{2} = 1$ » ; (d) « $4$ est un multiple de $2$ et $4$ est un multiple de $4$ ».

Corrigé

Rappel : une proposition « $P$ et $Q$ » est vraie seulement si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies ; une proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie dès que l'une au moins des deux est vraie.

(a) Fausse. « $2 < 3$ » est vraie, mais « $5$ est pair » est fausse ( $5 = 2 \times 2 + 1$ ). Un « et » avec un morceau faux est faux.

(b) Vraie. « $2 < 3$ » est vraie, ce qui suffit à rendre le « ou » vrai, même si l'autre morceau est faux.

(c) Vraie. « $- 1 > 0$ » est fausse, mais $(- 1)^{2} = (- 1) \times (- 1) = 1$ , donc le second morceau est vrai : le « ou » est vrai.

(d) Vraie. $4 = 2 \times 2$ est un multiple de $2$ , et $4 = 4 \times 1$ est un multiple de $4$ . Les deux morceaux sont vrais, donc le « et » est vrai.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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