mathématiques (seconde) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La droite d'Euler d'un triangle

Vecteurs et problèmes de géométrie · Barycentres et points de concours · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On reprend le triangle $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (1; 3)$ . On admet (voir les figures du cours) que le centre du cercle circonscrit est $O (2; 1)$ et l'orthocentre $H (1; 1)$ .

Déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ .
Calculer $O G$ et $O H$ ; en déduire que $O$ , $G$ , $H$ sont alignés.
Vérifier que $O H = 3 O G$ : la droite $(O G H)$ est la droite d'Euler du triangle.

Corrigé

1. $G (\frac{0 + 4 + 1}{3}; \frac{0 + 0 + 3}{3}) = G (\frac{5}{3}; 1)$ .
2. $O G (- \frac{1}{3}; 0)$ et $O H (- 1; 0)$ ; le déterminant vaut $(- \frac{1}{3}) \times 0 - (- 1) \times 0 = 0$ , donc les vecteurs sont colinéaires : $O$ , $G$ , $H$ sont alignés (ils ont d'ailleurs tous pour ordonnée $1$ ).
3. $3 O G = 3 (- \frac{1}{3}; 0) = (- 1; 0) = O H$ . Les trois points sont sur la droite d'Euler.

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