Trois paires de vecteurs, colinéaires ou non

Rappel. Le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ vaut $\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$. Les deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.

(a) $$\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=3\times 10-(-5)\times (-6)=30-30=0.$$ Les vecteurs sont colinéaires. On le voit d'ailleurs directement : $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}$.

(b) $$\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=2\times 10-7\times 3=20-21=-1\ne 0.$$ Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

(c) $$\det (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0\times (-1)-4\times 0=0.$$ Les vecteurs sont colinéaires : ils sont tous deux verticaux, ce qui est bien cohérent ($\overrightarrow{v}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{u}$).