Trouver l'abscisse qui aligne trois points

Traduction de l'alignement. Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.

Les deux vecteurs. $$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4-1\\ -1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}\right),\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}t-1\\ 5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t-1\\ 3\end{array}\right).$$

Le déterminant. $$\det \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3\times 3-(-3)\times (t-1)=9+3(t-1)=9+3t-3=3t+6.$$

Résolution. $$3t+6=0⟺3t=-6⟺t=-2.$$

Contrôle. Pour $t=-2$, le point $C$ a pour coordonnées $(-2;5)$ et $$\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\end{array}\right)=-\overrightarrow{AB}.$$ Les deux vecteurs sont bien colinéaires : les trois points sont alignés, et $A$ est le milieu de $[BC]$.