Une égalité vectorielle à démontrer

Le principe. On transforme le membre de gauche en y faisant apparaître les points $D$ et $B$ à l'aide de la relation de Chasles.

Calcul. On décompose chacun des deux vecteurs : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\text{et}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}.$$ En additionnant : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}.$$

On regroupe les deux vecteurs opposés. Comme $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DD}=\overrightarrow{0}$, il reste $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$ C'est l'égalité demandée.

Contrôle sur un exemple. Prenons $A(0;0)$, $B(2;1)$, $C(3;-1)$ et $D(1;4)$. À gauche : $\overrightarrow{AB}(2;1)$ et $\overrightarrow{CD}(-2;5)$, dont la somme est $(0;6)$. À droite : $\overrightarrow{AD}(1;4)$ et $\overrightarrow{CB}(-1;2)$, dont la somme est $(0;6)$ ✔.