Deux longueurs obtenues par Thalès

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 7 — Automatismes de géométrie · Pythagore et Thalès

Énoncé

Deux droites se coupent en $A$ . Sur l'une, le point $M$ est entre $A$ et $B$ ; sur l'autre, le point $N$ est entre $A$ et $C$ , et $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 4$ cm, $A B = 10$ cm, $A N = 6$ cm et $M N = 5$ cm. Calculer $A C$ et $B C$ .

Corrigé

Le théorème de Thalès. Dans cette configuration de triangles emboîtés, avec $(M N) ∥ (B C)$ : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} .$

Le rapport. On le calcule avec les deux longueurs connues sur la même droite : $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0, 4.$

Calcul de $A C$ . De $\frac{A N}{A C} = 0, 4$ , on tire $A C = \frac{A N}{0 , 4} = \frac{6}{0 , 4} = 15 cm .$

Calcul de $B C$ . De $\frac{M N}{B C} = 0, 4$ , on tire $B C = \frac{M N}{0 , 4} = \frac{5}{0 , 4} = 12, 5 cm .$

Contrôle. Le petit triangle $A M N$ est une réduction du grand triangle $A B C$ dans le rapport $0, 4$ : ses trois côtés $4$ , $6$ , $5$ valent bien $0, 4$ fois $10$ , $15$ , $12, 5$ ✔.

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