Quatre expressions aux valeurs remarquables

Les valeurs à connaître. $$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 60°=\frac{1}{2},\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan 45°=1,\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Calcul de $A$. $$A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$ Ce n'est pas un hasard : $30°$ et $60°$ sont complémentaires, donc $\cos 60°=\sin 30°$, et $A=2\sin 30°$.

Calcul de $B$. $$B=1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71.$$

Calcul de $C$. $$C={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1.$$ On retrouve la relation fondamentale ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$, ici pour $\alpha =60°$.

Calcul de $D$. On revient à la définition $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ : $$\tan 60°=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},\tan 30°=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Donc $$D=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1.$$ Là encore c'est général : pour deux angles complémentaires, $\tan (90°-\alpha )=\frac{1}{\tan \alpha }$, donc le produit vaut $1$.