Un sinus qui vaut un demi

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 7 — Automatismes de géométrie · Trigonométrie dans le triangle rectangle

Énoncé

Un triangle $A B C$ est rectangle en $B$ . Son hypoténuse mesure $A C = 12$ cm et le côté $B C$ mesure $6$ cm. Calculer le sinus de l'angle en $A$ , en déduire la mesure de cet angle, puis celle de l'angle en $C$ .

Corrigé

Le sinus de l'angle en $A$ . Le triangle est rectangle en $B$ , donc $[A C]$ est l'hypoténuse. Par rapport à l'angle en $A$ , le côté opposé est $[B C]$ . Donc $sin A = \frac{B C}{A C} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} .$

La mesure de l'angle. C'est une valeur remarquable : $sin 30° = \frac{1}{2}, donc A = 30°.$

L'angle en $C$ . La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ , et l'angle en $B$ vaut $90°$ : $C = 180° - 90° - 30° = 60°.$ Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours complémentaires : $30° + 60° = 90°$ ✔.

Contrôle. On peut retrouver $A B$ par Pythagore : $A B^{2} = 1 2^{2} - 6^{2} = 144 - 36 = 108$ , donc $A B = 108 = 63 \approx 10, 39$ cm. Et l'on vérifie $cos 30° = \frac{A B}{A C} = \frac{6 3}{12} = \frac{3}{2}$ ✔.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.