Deux tableaux de variations sur un intervalle borné

1. La fonction carré sur $[-3;2]$. Elle est décroissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ et croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ ; l'intervalle $[-3;2]$ contient $0$, il faut donc couper en deux. Les valeurs aux trois abscisses charnières sont $(-3{)}^2=9$, $0^2=0$ et $2^2=4$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -3& & 0& & 2\\ x^2& 9& \searrow & 0& \nearrow & 4\end{array}$$

Le minimum vaut $0$, atteint en $x=0$. Le maximum est la plus grande des deux valeurs extrêmes $9$ et $4$ : $$\max =9,\text{ atteint en }x=-3.$$

Attention. Le maximum n'est pas atteint à la borne de droite : sur un intervalle qui contient $0$, il faut comparer les images des deux bornes.

2. La fonction inverse sur $[1;5]$. Cet intervalle ne contient pas $0$ et n'est formé que de nombres strictement positifs : la fonction inverse y est décroissante sur toute sa longueur. Ses valeurs aux bornes sont $\frac{1}{1}=1$ et $\frac{1}{5}=0,2$.

$$\begin{array}{cccc}x& 1& & 5\\ \frac{1}{x}& 1& \searrow & \frac{1}{5}\end{array}$$

Le maximum vaut $1$, atteint en $x=1$ ; le minimum vaut $\frac{1}{5}$, atteint en $x=5$.

Contrôle. $\frac{1}{3}\approx 0,33$ est bien compris entre $0,2$ et $1$ ✔.