Quatre encadrements tirés d'un seul

Le carré. Les deux bornes sont positives, et la fonction carré est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ : elle conserve l'ordre. $$2\le x\le 5⟹2^2\le x^2\le 5^2,\text{soit}4\le x^2\le 25.$$

L'inverse. L'intervalle $[2;5]$ ne contient pas $0$ et n'est formé que de nombres positifs ; la fonction inverse y est décroissante : elle renverse l'ordre. $$2\le x\le 5⟹\frac{1}{5}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{2}.$$

L'expression affine. On multiplie d'abord par $3$, qui est positif (l'ordre est conservé), puis on retranche $4$ (l'ordre est conservé aussi) : $$2\le x\le 5⟹6\le 3x\le 15⟹2\le 3x-4\le 11.$$

La racine carrée. La fonction racine carrée est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ : $$\sqrt{2}\le \sqrt{x}\le \sqrt{5},\text{soit environ}1,41\le \sqrt{x}\le 2,24.$$

Contrôle sur une valeur. Pour $x=4$ : $x^2=16\in [4;25]$ ✔, $\frac{1}{x}=0,25\in \left[0,2;0,5\right]$ ✔, $3x-4=8\in [2;11]$ ✔, $\sqrt{4}=2\in [1,41;2,24]$ ✔.