Quatre encadrements tirés d'un seul

1. On multiplie l'encadrement $2\le x\le 5$ par $3$, qui est positif : le sens des inégalités est conservé. $$6\le 3x\le 15,$$ puis on retranche $1$ à chaque membre : $$5\le 3x-1\le 14.$$

2. On multiplie $2\le x\le 5$ par $-2$, qui est négatif : le sens des inégalités s'inverse et les bornes s'échangent. $$-10\le -2x\le -4.$$ Contrôle : pour $x=2$, $-2x=-4$ ; pour $x=5$, $-2x=-10$. Les deux bornes sont bien atteintes.

3. Les deux bornes $2$ et $5$ sont positives, et la fonction carré est croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ : elle conserve l'ordre. $$2^2\le x^2\le 5^2,\text{c’est-aˋ-dire}4\le x^2\le 25.$$

4. Sur $\left]0;+\infty \right[$, la fonction inverse est décroissante : elle inverse l'ordre. Comme $2\le x\le 5$ avec $x>0$, $$\frac{1}{5}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{2},\text{soit}0,2\le \frac{1}{x}\le 0,5.$$ Contrôle : pour $x=4$ (qui est bien entre $2$ et $5$), $\frac{1}{x}=0,25$, valeur comprise entre $0,2$ et $0,5$.