Quatre encadrements tirés d'un seul

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Encadrer grâce aux variations

Énoncé

On sait que $2 \leq x \leq 5$ . Donner un encadrement de chacune des quantités suivantes, en justifiant à chaque fois :

$3 x - 1$ ;
$- 2 x$ ;
$x^{2}$ ;
$\frac{1}{x}$ .

Corrigé

1. On multiplie l'encadrement $2 \leq x \leq 5$ par $3$ , qui est positif : le sens des inégalités est conservé. $6 \leq 3 x \leq 15,$ puis on retranche $1$ à chaque membre : $5 \leq 3 x - 1 \leq 14.$

2. On multiplie $2 \leq x \leq 5$ par $- 2$ , qui est négatif : le sens des inégalités s'inverse et les bornes s'échangent. $- 10 \leq - 2 x \leq - 4.$ Contrôle : pour $x = 2$ , $- 2 x = - 4$ ; pour $x = 5$ , $- 2 x = - 10$ . Les deux bornes sont bien atteintes.

3. Les deux bornes $2$ et $5$ sont positives, et la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ : elle conserve l'ordre. $2^{2} \leq x^{2} \leq 5^{2}, c’est- a ˋ -dire 4 \leq x^{2} \leq 25.$

4. Sur $] 0; + \infty [$ , la fonction inverse est décroissante : elle inverse l'ordre. Comme $2 \leq x \leq 5$ avec $x > 0$ , $\frac{1}{5} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}, soit 0, 2 \leq \frac{1}{x} \leq 0, 5.$ Contrôle : pour $x = 4$ (qui est bien entre $2$ et $5$ ), $\frac{1}{x} = 0, 25$ , valeur comprise entre $0, 2$ et $0, 5$ .

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