Un nombre et son carré

Pour $x=0,4$. $$0,4^2=0,16\text{et}0,16<0,4.$$ Le carré est plus petit que le nombre.

Pour $x=2,5$. $$2,5^2=6,25\text{et}6,25>2,5.$$ Le carré est plus grand que le nombre.

Le résultat général. On étudie le signe de $x^2-x=x(x-1)$ pour $x\ge 0$.

• Sur $[0;1]$, le facteur $x$ est positif ou nul et le facteur $x-1$ négatif ou nul : le produit est négatif ou nul, donc $x^2\le x$.
• Sur $\left[1;+\infty \right[$, les deux facteurs sont positifs ou nuls : le produit est positif ou nul, donc $x^2\ge x$.

L'égalité $x^2=x$ n'a lieu que pour $x=0$ et $x=1$.

Contrôles. $0,4\in [0;1]$ et l'on a bien trouvé $0,16<0,4$ ✔ ; $2,5>1$ et l'on a bien trouvé $6,25>2,5$ ✔.

En clair. Élever au carré rapetisse les nombres entre $0$ et $1$, et agrandit ceux qui dépassent $1$.