Approfondissement (hors programme) — L'ailette de refroidissement

1. En régime stationnaire, la tranche reçoit par conduction $\Phi (x)-\Phi (x+\mathrm{d}x)=\lambda S\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{d}x$ et cède à l'air $hp\mathrm{d}x(T-T_f)$ : $\lambda S\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{x}^2}=hp\theta$. Avec $S=2.5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$ et $p=0.02\mathrm{m}$ : $\delta =\sqrt{\frac{200\times 2,5\times 10^{-5}}{15\times 0,02}}=0.129\mathrm{m}$.

2. Les solutions sont ${\mathrm{e}}^{\pm x/\delta }$ ; pour une ailette longue, $\theta$ reste bornée : $\theta ={\theta }_0{\mathrm{e}}^{-x/\delta }$ (l'hypothèse « longue » demande une longueur de quelques $\delta$, soit une trentaine de centimètres). Tout ce qui entre à la base est évacué par la surface latérale :

$$\Phi =-\lambda S\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}x}(0)=\frac{\lambda S{\theta }_0}{\delta }=\sqrt{\lambda Shp}{\theta }_0=1.94\mathrm{W},$$

contre $hS{\theta }_0=0.019\mathrm{W}$ par la seule section : un facteur $100$. L'ailette multiplie la surface d'échange ; elle n'est utile que si $\sqrt{\lambda Shp}\gg hS$, c'est-à-dire $\frac{hS}{\lambda p}\ll 1$ (ici $10^{-4}$) : le métal doit conduire bien mieux que l'air n'échange.