Ballon d'eau chaude : constante de temps et validité de l'ARQS

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 2

Énoncé

Un ballon contient $200 L$ d'eau à $65° C$ dans une pièce à $20° C$ . Il est isolé par $5 cm$ de mousse de polyuréthane ( $λ = 0.025 W / m / K$ , $ρ = 35 kg / m^{3}$ , $c = 1400 J / kg / K$ ) sur $3 m^{2}$ . On néglige les résistances de surface et l'on suppose l'eau à température uniforme (brassée).

Calculer la capacité thermique $C$ de l'eau et la résistance $R$ de l'isolant. Établir l'équation d'évolution de la température de l'eau et sa constante de temps.
Quelle puissance le ballon perd-il au début ? en une journée ? En combien de temps l'écart à la pièce est-il divisé par deux ?
Justifier l'approximation des régimes quasi stationnaires : quelles sont les deux conditions, et sont-elles vérifiées ?

Corrigé

1. $C = m c_{eau} = 200 \times 4180 = 8.4 \times 1 0^{5} J / K$ ; $R = \frac{e}{λ S} = \frac{0 , 05}{0 , 025 \times 3} = 0.67 K / W$ . Le premier principe pour l'eau, $C \frac{d T}{d t} = - \frac{T - T _{a}}{R}$ , donne $T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) e^{- t / τ}$ avec $τ = R C = 5.6 \times 1 0^{5} s$ , soit $6, 5$ jours : c'est le circuit $R C$ .

2. Au début : $\frac{45}{0 , 67} = 68 W$ , soit $1.6 kWh$ par jour, l'ordre de grandeur des étiquettes. L'écart est divisé par deux en $τ ln 2$ , soit $4, 5$ jours.

3. Il faut (a) que l'eau soit uniforme : elle est brassée par la convection naturelle, en quelques minutes ; (b) que l'isolant suive le régime stationnaire à chaque instant, pour qu'on puisse lui appliquer sa résistance : son temps de diffusion $\frac{e ^{2}}{D}$ , avec $D = \frac{0 , 025}{35 \times 1400} = 5.1 \times 1 0^{- 7} m^{2} / s$ , vaut $4.9 \times 1 0^{3} s$ , une heure et demie, très court devant $τ$ . Les deux conditions sont remplies : l'analogie $R C$ est justifiée.