Entropie créée par conduction dans un mur — exercice corrigé de phénomènes de transport (PSI) (chapitre 2)

Entropie créée par conduction dans un mur

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 2

Énoncé

Un mur (béton de $20 cm$ isolé par $12 cm$ d'isolant) est traversé en régime stationnaire par une densité de flux $j = 5.36 W / m^{2}$ , de sa face intérieure à $T_{1} = 292.15 K$ vers sa face extérieure à $T_{2} = 273.15 K$ .

Par un bilan d'entropie sur le mur (système fermé, en régime stationnaire), exprimer l'entropie créée par unité de temps et de surface. Calculer.
Montrer que son signe impose le sens du flux. Quel lien avec le signe de la loi de Fourier et l'irréversibilité de la diffusion ?
Pour un mur de béton nu de $20 cm$ , la densité de flux vaut $52.8 W / m^{2}$ entre des faces à $13.1° C$ et $7.1° C$ , et les airs sont à $20° C$ et $5° C$ . Calculer l'entropie créée dans le béton, puis d'un air à l'autre. Commenter.

Corrigé

1. En régime stationnaire, l'état du mur ne change pas : $d S = 0$ . Pendant $d t$ , une surface $S$ reçoit $δ Q_{1} = j S d t$ à la température $T_{1}$ et cède $j S d t$ à $T_{2}$ ; l'entropie échangée vaut $δ S_{e} = j S d t (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ , et $d S = δ S_{e} + δ S_{c} = 0$ donne

$\frac{δ S _{c}}{S d t} = j (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}}) = 5, 36 (\frac{1}{273 , 15} - \frac{1}{292 , 15}) = 1.28 \times 1 0^{- 3} W / K / m^{2} .$

2. Le second principe impose $δ S_{c} \geq 0$ : avec $T_{1} > T_{2}$ , il faut $j \geq 0$ , c'est-à-dire un flux du chaud vers le froid. C'est exactement ce que dit le signe moins de la loi de Fourier, $j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ , avec $λ > 0$ . Le transfert inverse, spontané, détruirait de l'entropie : on ne le voit jamais, et l'équation de la chaleur, non invariante par $t \to - t$ , ne le permet pas. La conduction est irréversible tant qu'il existe un écart de température.

3. Dans le béton : $52, 8 (\frac{1}{280 , 25} - \frac{1}{286 , 25}) = 3.97 \times 1 0^{- 3} W / K / m^{2}$ ; d'un air à l'autre : $52, 8 (\frac{1}{278 , 15} - \frac{1}{293 , 15}) = 9.71 \times 1 0^{- 3} W / K / m^{2}$ , dont plus de la moitié dans les couches d'air au contact des faces. Le mur isolé, traversé par un flux dix fois plus faible, crée trois fois moins d'entropie que le béton nu, alors que l'écart de température entre ses faces est trois fois plus grand : moins de flux, moins d'irréversibilité.