Isoler un mur par l'intérieur ou par l'extérieur ?

La stratégie. Régime stationnaire et pas de source : rien ne s'accumule, le même flux traverse tout. Chaque couche se réduit alors à une résistance, la paroi à des résistances en série, et la température d'interface se lit comme le potentiel d'un pont diviseur.

1) Mur homogène. Le bilan local $\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial j_x}{\partial x}$ devient, en régime stationnaire, $\frac{\mathrm{d}{j}_x}{\mathrm{d}x}=0$ : $j_x$ est uniforme. Fourier : $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=-\frac{j_x}{\lambda }$ est constant, le profil est affine, et entre les faces $0$ et $e$, $j_x=\lambda \frac{T_1-T_2}{e}$. Le flux $\Phi =j_{x}S$ est proportionnel à l'écart $T_1-T_2$, comme le courant à la tension : on définit $R$ par $T_1-T_2=R\Phi$ (température $\leftrightarrow$ potentiel, flux $\leftrightarrow$ intensité), d'où $$R=\frac{e}{\lambda S},r=RS=\frac{e}{\lambda }.$$ L'analogie suppose un flux le même d'une face à l'autre : régime stationnaire et absence de source. Elle vaut pour toute pièce traversée selon une seule direction, par exemple un barreau dont la surface latérale est calorifugée.

2) En série. Le contact parfait rend la température continue à l'interface, et la conservation du flux (aucune accumulation à l'interface) fait traverser les deux couches par le même flux : les résistances s'ajoutent. $$r_b=\frac{0,20}{1,75}=0,114{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}{\mathrm{W}}^{-1},r_i=\frac{0,12}{0,035}=3,43{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}{\mathrm{W}}^{-1},$$ $$j=\frac{T_1-T_2}{r_b+r_i}=\frac{19}{3,543}=5,4\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ La somme ne dépend pas de l'ordre : les deux murs perdent autant.

3) Les profils. L'écart dans chaque couche vaut sa résistance fois $j$ (le diviseur de températures) :

• isolation par l'extérieur (béton côté chaud) : $T_{\text{int}}=19-r_{b}j=19-0,61=18,4{}^{\circ }\mathrm{C}$ ;
• isolation par l'intérieur (isolant côté chaud) : $T_{\text{int}}=19-r_{i}j=0,6{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Les pentes valent $\frac{j}{\lambda }$ : $3,1\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}$ dans le béton, $153\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}$ dans l'isolant, cinquante fois plus (${\lambda }_b/{\lambda }_i=50$). La température chute presque entièrement dans le matériau le moins conducteur.

Profils à l'échelle (faces à $19$ et $0{}^{\circ }\mathrm{C}$). Le circuit équivalent est le même dans les deux cas : $T_1$ — $r_{\text{coˆteˊ chaud}}$ — $T_{\text{int}}$ — $r_{\text{coˆteˊ froid}}$ — $T_2$, parcouru par $j$.

4) Ordres de grandeur. Béton seul : $j=\frac{19}{0,114}=166\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, trente et une fois plus. Un centimètre d'isolant a pour résistance $\frac{0,01}{0,035}=0,29{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}{\mathrm{W}}^{-1}$, celle de $0,29\times 1,75=0,50\mathrm{m}$ de béton : un centimètre d'isolant vaut cinquante centimètres de béton. Pour $r_i⩾3,7{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}{\mathrm{W}}^{-1}$ : $e_i⩾3,7\times 0,035=0,13\mathrm{m}$, soit $13\mathrm{cm}$ (le béton n'ajoute que $0,11$).

5) Ce qui les distingue. En régime stationnaire et dans ce modèle 1D, les pertes sont identiques. Mais :

• inertie : par l'extérieur, le béton est à $18{}^{\circ }\mathrm{C}$, du côté chaud ; sa capacité ($\rho c{e}_b=4,6\times 10^5\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}$) amortit les variations de la température intérieure. Par l'intérieur, la pièce chauffe vite, ce qui convient à un logement occupé par intermittence ;
• condensation : par l'intérieur, l'interface est à $0,6{}^{\circ }\mathrm{C}$, bien au-dessous de la température de rosée de l'air intérieur (environ $8{}^{\circ }\mathrm{C}$ à $50\%$ d'humidité) ; la vapeur qui traverse l'isolant y condense : il faut un pare-vapeur côté chaud ;
• ponts thermiques : l'isolation intérieure est interrompue à chaque plancher (transfert à deux dimensions, hors du modèle).

L'hypothèse à lever : les températures de face imposées. En réalité, ce sont les températures de l'air qui sont connues, et chaque surface échange avec l'air selon la loi de Newton : c'est l'objet de l'exercice sur la fenêtre.

Ce que l'exercice installe. En régime stationnaire sans source : flux uniforme, profil affine, $R=\frac{e}{\lambda S}$ établie par analogie avec la loi d'Ohm. Couches empilées en contact parfait : même flux, résistances en série ; la température d'une interface se lit comme un diviseur. La couche la plus résistante porte presque tout l'écart. L'ordre des couches ne change pas les pertes stationnaires, mais l'inertie et la condensation.