phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

La cave et l'onde thermique annuelle

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

La température de la surface d'un sol humide ( $D = 5.0 \times 1 0^{- 7} m^{2} / s$ ) varie au cours de l'année selon $T (0, t) = T_{m} + θ_{0} cos (ω t)$ , avec $T_{m} = 11° C$ , $θ_{0} = 10 K$ et une période d'un an ; le maximum est atteint vers la mi-juillet. On admet qu'en régime établi $T (x, t) = T_{m} + θ_{0} e^{- x / δ} cos (ω t - x / δ)$ , $x$ étant la profondeur.

Vérifier que cette expression satisfait l'équation de la chaleur pour une valeur de $δ$ à exprimer. Calculer $δ$ pour l'année, puis pour le jour.
Une cave est creusée à $3 m$ : amplitude et date du maximum de température ?
À quelle profondeur l'amplitude n'est-elle plus que de $1 K$ ? À quelle profondeur la température est-elle en opposition de phase avec la surface, et que vaut alors l'amplitude ?
Que perçoit-on, à $50 cm$ , de l'alternance du jour et de la nuit (amplitude $5 K$ en surface) ?

Corrigé

1. En notation complexe, $θ = θ_{0} e^{i (ω t - k x)}$ avec $k = \frac{1 - i}{δ}$ : $\frac{\partial θ}{\partial t} = i ω θ$ et $D \frac{\partial ^{2} θ}{\partial x ^{2}} = - D k^{2} θ = \frac{2 i D}{δ ^{2}} θ$ ; l'équation est satisfaite si $δ = \frac{2 D}{ω}$ . Année : $δ = \frac{2 \times 5 \times 1 0 ^{- 7} \times 3 , 156 \times 1 0 ^{7}}{2 π} = 2.24 m$ ; jour : $365$ fois moins, $0.12 m$ .

2. Amplitude $10 e^{- 3/2, 24} = 2.6 K$ ; retard de phase $\frac{x}{δ} = 1, 34 rad$ , soit $\frac{1 , 34}{2 π} \times 365 = 78$ jours : le maximum arrive vers le début d'octobre, et la cave reste entre $8, 4$ et $13.6° C$ .

3. $e^{- x / δ} = 0, 1$ : $x = δ ln 10 = 5.2 m$ . Opposition de phase : $x = π δ = 7.0 m$ , où l'amplitude vaut $10 e^{- π} = 0.43 K$ : la cave y est (un peu) plus chaude en hiver qu'en été.

4. $5 e^{- 0, 5/0, 117} = 0.07 K$ : rien. Le sol filtre les variations rapides : plus le forçage est lent, plus il pénètre ( $δ \propto 1/ ω$ ).

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