phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Le bilan local en géométrie quelconque : l'opérateur divergence

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 2

Énoncé

Le bilan local d'énergie interne s'écrit $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - div j_{Q} + p_{v}$ ; en géométrie sphérique, pour $j_{Q} = j_{r} (r) u_{r}$ , $div j_{Q} = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d ( r ^{2} j _{r} )}{d r}$ (expression fournie). Une boule de rayon $a$ produit la puissance volumique $p_{v}$ uniforme ; elle est entourée d'un milieu sans source ; régime stationnaire.

Par des bilans globaux sur la boule de rayon $r$ , établir $j_{r} (r)$ pour $r < a$ et pour $r > a$ .
Vérifier que $div j_{Q} = p_{v}$ à l'intérieur et $div j_{Q} = 0$ à l'extérieur. Interpréter. $j_{r}$ est-elle continue en $r = a$ ?
En déduire le profil de température dans la boule (conductivité $λ$ ).
Même question pour un cylindre infini de rayon $a$ : $div j_{Q} = \frac{1}{r} \frac{d ( r j _{r} )}{d r}$ .

Corrigé

1. Pour $r < a$ : $4 π r^{2} j_{r} = p_{v} \frac{4}{3} π r^{3}$ , $j_{r} = \frac{p _{v} r}{3}$ . Pour $r > a$ : toute la puissance $P = p_{v} \frac{4}{3} π a^{3}$ traverse la sphère de rayon $r$ , $j_{r} = \frac{P}{4 π r ^{2}} = \frac{p _{v} a ^{3}}{3 r ^{2}}$ .

2. Intérieur : $\frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (\frac{p _{v} r ^{3}}{3}) = p_{v}$ ; extérieur : $r^{2} j_{r} = \frac{p _{v} a ^{3}}{3}$ est constant, $div j_{Q} = 0$ . La divergence mesure ce qui sort d'un petit volume par unité de volume : en régime stationnaire, exactement ce qui y est produit ; sans source, rien ( $div j_{Q} = 0$ est la forme locale de la conservation du flux). En $r = a$ , les deux expressions valent $\frac{p _{v} a}{3}$ : le flux est continu, l'interface ne stockant rien.

3. $- λ \frac{d T}{d r} = \frac{p _{v} r}{3}$ , d'où $T (r) = T (0) - \frac{p _{v} r ^{2}}{6 λ}$ : parabolique, et $T (0) - T (a) = \frac{p _{v} a ^{2}}{6 λ}$ . C'est aussi $λ Δ T + p_{v} = 0$ avec le laplacien sphérique.

4. $2 π r ℓ j_{r} = p_{v} π r^{2} ℓ$ : $j_{r} = \frac{p _{v} r}{2}$ , et $\frac{1}{r} \frac{d}{d r} (\frac{p _{v} r ^{2}}{2}) = p_{v}$ ; dehors, $r j_{r}$ constant ; $T (0) - T (a) = \frac{p _{v} a ^{2}}{4 λ}$ . Le facteur passe de $1/6$ à $1/4$ : un cylindre évacue moins bien sa chaleur qu'une boule de même rayon.

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