phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le crayon de combustible d'un réacteur à eau sous pression : 900 °C au cœur, 330 °C en surface

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · E. Régime stationnaire et résistance thermique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le combustible d'un réacteur à eau sous pression est formé de pastilles de dioxyde d'uranium empilées dans une gaine en alliage de zirconium, le tout formant un crayon de $4 m$ de long ; l'eau du circuit primaire circule le long des crayons. On étudie une section du crayon en régime stationnaire, en négligeant la conduction le long de l'axe.

Pastille : rayon $r_{p} = 4, 096 mm$ , $λ_{U} = 3, 0 W m^{- 1} K^{- 1}$ (supposée uniforme), siège de la puissance volumique $p$ uniforme due aux fissions. On note $P_{ℓ} = p π r_{p}^{2}$ la puissance linéique (par mètre de crayon).
Jeu rempli d'hélium entre la pastille et la gaine : on le traite comme une loi de Newton donnée, $j = h_{g} (T_{p} - T_{g i})$ à la surface de la pastille, avec $h_{g} = 6000 W m^{- 2} K^{- 1}$ ( $T_{p}$ : surface de la pastille, $T_{g i}$ : face intérieure de la gaine).
Gaine : rayons $r_{i} = 4, 18 mm$ et $r_{e} = 4, 75 mm$ , $λ_{Z} = 16 W m^{- 1} K^{- 1}$ .
Eau à $T_{w} = 310^{\circ} C$ ; loi de Newton (donnée) : $j = h (T_{g e} - T_{w})$ à la surface de la gaine, avec $h = 35000 W m^{- 2} K^{- 1}$ .

Puissance linéique moyenne dans le cœur : $P_{ℓ} = 17, 8 kW m^{- 1}$ ; au point le plus chaud : $45 kW m^{- 1}$ . Le dioxyde d'uranium fond à $2840^{\circ} C$ .

1) Par un bilan sur le cylindre de pastille de rayon $r ⩽ r_{p}$ et de longueur $ℓ$ , établir $j_{r} (r)$ . Le flux est-il conservé ? En déduire $T (r)$ dans la pastille.

2) Montrer que $T_{axe} - T_{p} = \frac{P _{ℓ}}{4 π λ _{U}}$ . Que remarque-t-on ? Valeur pour $17, 8 kW m^{- 1}$ .

3) En régime stationnaire, quel flux par mètre traverse le jeu, la gaine et la couche d'eau ? Construire la résistance linéique de la gaine à partir du bilan sur une coquille cylindrique. La comparer à celle d'un mur plan de même épaisseur, d'aire calculée au rayon moyen, puis au rayon intérieur. Exprimer chaque écart de température et calculer la température sur l'axe. Quelle couche porte l'essentiel de l'écart ?

4) Température sur l'axe au point le plus chaud. À quelle puissance linéique l'axe fondrait-il dans ce modèle ? Les concepteurs limitent la puissance linéique locale à environ $59 kW m^{- 1}$ : commenter, sachant que $λ_{U}$ diminue quand la température augmente.

5) Cas limites. À puissance volumique fixée, que devient l'écart axe-surface de la pastille si l'on double son rayon ? À puissance linéique fixée, gagne-t-on à amincir les crayons ? Calculer la densité de flux à la surface de la gaine.

Corrigé

La stratégie. La pastille produit : son bilan se fait sur un cylindre plein, et le flux croît avec $r$ . Au-delà, plus de source : le même flux par mètre, $P_{ℓ}$ , traverse en série le jeu, la gaine et la couche d'eau, et chacune se réduit à une résistance linéique. L'écart total est la somme des écarts.

1) Dans la pastille. Le cylindre de rayon $r$ et de longueur $ℓ$ produit $p π r^{2} ℓ$ ; en régime stationnaire, tout sort par sa surface latérale (aucun flux par les bases, la conduction axiale étant négligée) : $2 π r ℓ j_{r} (r) = p π r^{2} ℓ ⟹ j_{r} (r) = \frac{p r}{2} .$ Le flux n'est pas conservé : nul sur l'axe, il croît avec $r$ puisque chaque coquille ajoute sa production. Fourier : $- λ_{U} \frac{d T}{d r} = \frac{p r}{2}$ , d'où $T (r) = T_{axe} - \frac{p r ^{2}}{4 λ _{U}}$ : une parabole, maximale sur l'axe.

2) Un écart qui ne dépend pas du rayon. En $r_{p}$ : $T_{axe} - T_{p} = \frac{p r _{p}^{2}}{4 λ _{U}} = \frac{P _{ℓ}}{4 π λ _{U}} = \frac{17 800}{4 π \times 3 , 0} = 472 K .$ Le rayon a disparu : à puissance linéique donnée, l'écart dans la pastille ne dépend que de $λ_{U}$ . Amincir la pastille ne la refroidit pas.

3) La chaîne de résistances. Hors de la pastille, pas de source : le bilan stationnaire d'une coquille $[r, r + d r]$ impose un flux par mètre $Φ^{'} = 2 π r j_{r}$ indépendant de $r$ , égal à $P_{ℓ}$ . Pour la gaine, Fourier donne $- λ_{Z} 2 π r \frac{d T}{d r} = P_{ℓ}$ ; on intègre de $r_{i}$ à $r_{e}$ : $T_{g i} - T_{g e} = \frac{P _{ℓ}}{2 π λ _{Z}} ln \frac{r _{e}}{r _{i}}, R_{Z}^{'} = \frac{ln ( r _{e} / r _{i} )}{2 π λ _{Z}} = \frac{ln ( 4 , 75/4 , 18 )}{2 π \times 16} = 1, 27 \times 1 0^{- 3} K m W^{- 1} .$ Mur plan d'épaisseur $r_{e} - r_{i}$ et d'aire $2 π r ˉ$ par mètre : au rayon moyen, $1, 27 \times 1 0^{- 3}$ ( $0, 14 %$ d'écart) ; au rayon intérieur, $1, 36 \times 1 0^{- 3}$ ( $+ 6, 7 %$ ). La gaine est mince ( $\frac{e}{r _{i}} = 0, 14$ ) : le mur plan au rayon moyen suffit. Le jeu et l'eau sont des résistances de Newton, $\frac{1}{2 π r _{p} h _{g}}$ et $\frac{1}{2 π r _{e} h}$ . À $P_{ℓ} = 17, 8 kW m^{- 1}$ :

couche	résistance linéique ( $K m W^{- 1}$ )	écart ( $K$ )	part
pastille ( $\frac{1}{4 π λ _{U}}$ , avec source)	$0, 0265$	$472$	$75 %$
jeu	$6, 48 \times 1 0^{- 3}$	$115$	$18 %$
gaine	$1, 27 \times 1 0^{- 3}$	$22, 6$	$4 %$
eau	$9, 57 \times 1 0^{- 4}$	$17, 0$	$3 %$

$T_{axe} = 310 + 17, 0 + 22, 6 + 115 + 472 = 937^{\circ} C,$ avec $327^{\circ} C$ à la surface de la gaine et $465^{\circ} C$ à celle de la pastille. L'oxyde, mauvais conducteur, porte les trois quarts de l'écart ; le jeu, un cinquième. La pastille n'est pas une résistance au sens strict (elle produit), mais son écart, proportionnel à $P_{ℓ}$ , s'ajoute de la même façon.

4) Le point chaud. Tous les écarts sont proportionnels à $P_{ℓ}$ : la résistance linéique totale vaut $R_{tot}^{'} = 0, 0352 K m W^{- 1}$ , et à $45 kW m^{- 1}$ , $T_{axe} = 310 + 45000 \times 0, 0352 = 1895^{\circ} C$ . L'axe fondrait pour $P_{ℓ} = \frac{2840 - 310}{0 , 0352} = 72 kW m^{- 1}$ . La limite de conception, $59 kW m^{- 1}$ , garde une marge ; elle doit en garder une, car $λ_{U}$ diminue quand $T$ augmente (vers $2 W m^{- 1} K^{- 1}$ au-delà de $1500^{\circ} C$ ) : le modèle à $λ_{U}$ constant sous-estime la température de l'axe aux fortes puissances.

5) Les cas limites. À puissance volumique fixée, $T_{axe} - T_{p} = \frac{p r _{p}^{2}}{4 λ _{U}}$ : doubler le rayon quadruple l'écart (la puissance par mètre est quadruplée). À puissance linéique fixée, l'écart dans la pastille ne change pas ; amincir le crayon augmente seulement la densité de flux en surface, $\frac{P _{ℓ}}{2 π r _{e}} = \frac{17 800}{2 π \times 4 , 75 \times 1 0 ^{- 3}} = 0, 60 MW m^{- 2}$ en moyenne, et c'est elle qui limite le refroidissement par l'eau (risque d'ébullition en film, qualitatif).

Ce que l'exercice installe. Avec une source uniforme dans un cylindre, le bilan global sur le cylindre de rayon $r$ donne $j_{r} = \frac{p r}{2}$ : le flux croît, le profil est parabolique, et l'écart axe-surface vaut $\frac{P _{ℓ}}{4 π λ}$ , indépendant du rayon à puissance linéique fixée. Hors de la source, le flux par mètre est conservé et chaque couche est une résistance construite par le bilan sur une coquille ( $\frac{ln ( r _{e} / r _{i} )}{2 π λ}$ ) ou donnée par la loi de Newton ; en série, les écarts s'ajoutent. Une couche mince se ramène au mur plan au rayon moyen.

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