phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le méthanier à cuves sphériques : combien de gaz s'évapore chaque jour ?

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · C. Bilan local d'énergie interne · niveau 2

Énoncé

Un méthanier transporte du gaz naturel liquéfié (GNL, essentiellement du méthane) à la pression atmosphérique, à sa température d'ébullition $T_{1} = 111 K$ , dans des cuves sphériques en aluminium de rayon $R_{1} = 20, 0 m$ . Chaque cuve est entourée d'une couche de mousse de polyuréthane d'épaisseur $e = 30 cm$ ( $λ = 0, 025 W m^{- 1} K^{- 1}$ ), jusqu'au rayon $R_{2} = R_{1} + e$ . La paroi d'aluminium, mince et très conductrice, est à la température du GNL ; la surface extérieure de l'isolant est à la température de la cale, $T_{2} = 293 K$ . GNL : masse volumique $450 kg m^{- 3}$ , chaleur latente de vaporisation $L_{v} = 510 kJ k g^{- 1}$ ; la cuve est remplie à $98 %$ .

1) Par un bilan d'énergie sur la coquille de mousse comprise entre les sphères de rayons $r$ et $r + d r$ , établir $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r}$ , puis l'équation de la chaleur en géométrie sphérique. Retrouver l'expression fournie du laplacien.

2) En régime stationnaire, montrer que le flux $Φ$ à travers une sphère de rayon $r$ ne dépend pas de $r$ . La densité de flux $j_{r}$ est-elle uniforme dans l'isolant ? Calculer le rapport de ses valeurs sur les deux faces. Établir $T (r)$ .

3) En reprenant ces étapes, construire la résistance thermique de la couche isolante et montrer qu'elle s'écrit $R = \frac{1}{4 π λ} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{e}{λ 4 π R _{1} R _{2}}$ . Calculer $R$ et le flux qui entre dans la cuve.

4) Ce flux vaporise du GNL. Quelle masse s'évapore par jour, et quelle fraction de la cargaison ? Les exploitants annoncent $0, 1$ à $0, 15 %$ par jour : que néglige le modèle ? Que fait-on de ce gaz ?

5) Cas limite. Que donne la formule du mur plan d'aire $4 π R_{1}^{2}$ ? Quelle erreur commet-on ici ? et pour un vase Dewar de laboratoire de rayon intérieur $10 cm$ entouré de $30 cm$ de la même mousse ?

6) Effet d'échelle. Comment la fraction évaporée par jour dépend-elle de $R_{1}$ , à épaisseur d'isolant donnée ? La calculer pour $R_{1} = 10 m$ et $40 m$ . Pourquoi construit-on de grandes cuves ?

Corrigé

La stratégie. La géométrie impose le système : une coquille sphérique, d'épaisseur $d r$ , dont les deux faces n'ont pas la même aire. Le bilan stationnaire donne la grandeur conservée (le flux), la loi de Fourier la relie à $\frac{d T}{d r}$ , et l'intégration de $R_{1}$ à $R_{2}$ donne l'écart de température proportionnel au flux : c'est la résistance.

1) Le bilan sur une coquille. La coquille a pour volume $4 π r^{2} d r$ . Pendant $d t$ , elle reçoit par sa face intérieure $Φ (r, t) d t$ et cède par sa face extérieure $Φ (r + d r, t) d t$ , avec $Φ = 4 π r^{2} j_{r}$ ; sans travail ni source, $ρ c 4 π r^{2} d r \frac{\partial T}{\partial t} d t = [Φ (r, t) - Φ (r + d r, t)] d t = - \frac{\partial ( 4 π r ^{2} j _{r} )}{\partial r} d r d t,$ $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r} .$ Avec $j_{r} = - λ \frac{\partial T}{\partial r}$ et $λ$ uniforme : $\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{D}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}) = D Δ T,$ qui est l'expression fournie du laplacien.

2) Le flux est conservé, pas sa densité. En régime stationnaire, $\frac{d ( r ^{2} j _{r} )}{d r} = 0$ : $r^{2} j_{r}$ est constant, donc $Φ = 4 π r^{2} j_{r}$ ne dépend pas de $r$ (ce qui entre par une face ressort par l'autre). La densité de flux, elle, décroît comme $\frac{1}{r ^{2}}$ ; entre les faces, $\frac{j _{r} ( R _{1} )}{j _{r} ( R _{2} )} = (\frac{R _{2}}{R _{1}})^{2} = 1, 03$ : à peine $3 %$ , la couche étant mince. Fourier : $- λ 4 π r^{2} \frac{d T}{d r} = Φ$ , d'où $T (r) = \frac{Φ}{4 π λ r} + B,$ un profil en $\frac{1}{r}$ (ici le flux entre dans la cuve, $Φ < 0$ en suivant $u_{r}$ : la température croît avec $r$ ).

3) La résistance, construite. Par la loi de Fourier, $d T = - \frac{Φ}{4 π λ} \frac{d r}{r ^{2}}$ ; on intègre de $R_{1}$ à $R_{2}$ avec $Φ$ constant : $T (R_{1}) - T (R_{2}) = \frac{Φ}{4 π λ} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}),$ écart proportionnel au flux. Par définition, $R = \frac{T ( R _{1} ) - T ( R _{2} )}{Φ}$ : $R = \frac{1}{4 π λ} (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{R _{2} - R _{1}}{4 π λ R _{1} R _{2}} = \frac{e}{λ 4 π R _{1} R _{2}} .$ C'est la résistance d'un mur plan d'épaisseur $e$ dont l'aire est la moyenne géométrique $4 π R_{1} R_{2}$ des aires des deux faces. Numériquement, $R = \frac{0 , 30}{0 , 025 \times 4 π \times 20 , 0 \times 20 , 3} = 2, 35 \times 1 0^{- 3} K W^{- 1}, ∣ Φ ∣ = \frac{293 - 111}{2 , 35 \times 1 0 ^{- 3}} = 77 kW .$

4) L'évaporation. La cuve contient $0, 98 \times \frac{4}{3} π R_{1}^{3} \times 450 = 1, 48 \times 1 0^{7} kg$ , soit $14800 t$ de GNL. Le GNL est à sa température d'ébullition sous pression fixée : l'énergie reçue ne le réchauffe pas, elle le vaporise. Par jour : $m_{v} = \frac{∣ Φ ∣ \times 86 400}{L _{v}} = \frac{7 , 74 \times 1 0 ^{4} \times 86 400}{5 , 10 \times 1 0 ^{5}} = 1, 3 \times 1 0^{4} kg = 13 t,$ soit $0, 089 %$ de la cargaison par jour. C'est un peu moins que les $0, 1$ à $0, 15 %$ annoncés : le modèle néglige les ponts thermiques (la jupe qui porte la cuve, les tuyauteries) et l'échauffement de la cale. Le gaz évaporé alimente les moteurs du navire ou est reliquéfié.

5) Le mur plan. Avec l'aire $4 π R_{1}^{2}$ : $R_{plan} = \frac{e}{λ 4 π R _{1}^{2}}$ , et $\frac{R _{plan}}{R} = \frac{R _{2}}{R _{1}} = 1 + \frac{e}{R _{1}} = 1, 015$ : $1, 5 %$ d'erreur, négligeable ici ( $e ≪ R_{1}$ ). Pour le Dewar, $\frac{e}{R _{1}} = 3$ : le mur plan surestime la résistance d'un facteur 4 ; la géométrie sphérique est alors indispensable.

6) L'effet d'échelle. À $e ≪ R_{1}$ , $∣ Φ ∣ \approx \frac{λ 4 π R _{1}^{2} ( T _{2} - T _{1} )}{e}$ croît comme $R_{1}^{2}$ (la surface) et la cargaison comme $R_{1}^{3}$ (le volume) : la fraction évaporée par jour varie comme $\frac{1}{R _{1}}$ . On trouve $0, 18 %$ par jour pour $R_{1} = 10 m$ , $0, 089 %$ pour $20 m$ , $0, 044 %$ pour $40 m$ . Une grande cuve perd moins, en proportion, qu'une petite : c'est la raison des cuves de quarante mètres de diamètre.

Ce que l'exercice installe. En géométrie sphérique, le bilan se fait sur une coquille $[r, r + d r]$ et donne $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ( r ^{2} j _{r} )}{\partial r}$ . En régime stationnaire sans source, c'est le flux qui est conservé, et la densité de flux décroît en $\frac{1}{r ^{2}}$ ; le profil est en $\frac{1}{r}$ . La résistance se construit : bilan, Fourier, intégration, définition. Une couche mince se ramène au mur plan (cas limite), et la loi d'échelle surface sur volume explique la taille des cuves.

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