phénomènes de transport (PSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Mesurer la diffusivité par la méthode d'Ångström

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une extrémité d'une longue barre de cuivre est chauffée périodiquement (période $T_{0} = 600 s$ ). Deux thermocouples, distants de $Δ x = 5.0 cm$ le long de la barre, enregistrent des oscillations sinusoïdales : le rapport de leurs amplitudes vaut $1, 405$ et le second est en retard de $32.5 s$ sur le premier (mesures construites pour l'exercice). On admet que, loin de l'extrémité chauffée, l'écart à la moyenne est une onde $θ_{0} e^{- x / δ} cos (ω t - x / δ)$ , $δ = 2 D / ω$ .

Exprimer le rapport des amplitudes et le déphasage en fonction de $Δ x / δ$ . En déduire $D$ par chacune des deux mesures, puis par leur produit.
Le cuivre a pour masse volumique $8960 kg / m^{3}$ et pour capacité thermique massique $385 J / kg / K$ : en déduire $λ$ .
En réalité la barre perd de l'énergie par sa surface latérale, ce qui ajoute un terme $- θ / τ_{p}$ à l'équation de la chaleur. Montrer que le produit $ln (A_{1} / A_{2}) \times Δ φ$ n'en dépend pas.

Corrigé

1. $ln \frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{Δ x}{δ}$ et $Δ φ = \frac{Δ x}{δ}$ : les deux valent ici $ln 1, 405 = 0, 340$ et $ω \times 32, 5 = \frac{2 π}{600} \times 32, 5 = 0, 340 rad$ , d'où $δ = 0.147 m$ et $D = \frac{ω δ ^{2}}{2} = 1.13 \times 1 0^{- 4} m^{2} / s$ . Le produit donne directement $D = \frac{ω Δ x ^{2}}{2 ln ( A _{1} / A _{2} ) Δ φ} = 1.13 \times 1 0^{- 4} m^{2} / s$ .

2. $λ = ρ cD = 8960 \times 385 \times 1, 13 \times 1 0^{- 4} = 390 W / m / K$ .

3. Avec $θ = Re [θ_{0} e^{i ω t - k x}]$ , $k = α + i β$ , l'équation $\frac{\partial θ}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} θ}{\partial x ^{2}} - \frac{θ}{τ _{p}}$ donne $k^{2} = \frac{1/ τ _{p} + i ω}{D}$ , soit $α^{2} - β^{2} = \frac{1}{D τ _{p}}$ et $2 α β = \frac{ω}{D}$ . L'atténuation ( $α$ ) et le déphasage ( $β$ ) dépendent des pertes, mais leur produit $α β Δ x^{2} = ln \frac{A _{1}}{A _{2}} Δ φ = \frac{ω Δ x ^{2}}{2 D}$ n'en dépend pas : c'est l'idée d'Ångström (1861), qui rend la mesure insensible aux pertes latérales.

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