Résistance d'un manchon cylindrique — exercice corrigé de phénomènes de transport (PSI) (chapitre 2)

Résistance d'un manchon cylindrique

Transfert thermique par conduction et ondes thermiques · niveau 1 (application)

Énoncé

Une canalisation cylindrique (rayons interne $R_{1}$ et externe $R_{2}$ , longueur $ℓ$ , conductivité $λ$ ) transporte un fluide chaud. Établir sa résistance thermique en régime stationnaire sans source, à partir d'un bilan d'énergie.

Corrigé

Bilan sur la coquille cylindrique $[r, r + d r]$ de longueur $ℓ$ : en régime stationnaire et sans source, ce qui entre par sa face intérieure ressort par sa face extérieure, et le flux $Φ = - λ (2 π r ℓ) \frac{d T}{d r}$ ne dépend pas de $r$ . En séparant : $\frac{d T}{d r} = - \frac{Φ}{2 π λ ℓ} \frac{1}{r}$ , d'où par intégration de $R_{1}$ à $R_{2}$ : $T_{1} - T_{2} = \frac{Φ}{2 π λ ℓ} ln \frac{R _{2}}{R _{1}}$ . Par définition de la résistance, $T_{1} - T_{2} = R_{th} Φ$ :

$R_{th} = \frac{ln ( R _{2} / R _{1} )}{2 π λ ℓ} .$

Le profil de température est logarithmique, et non affine, parce que la surface traversée croît avec $r$ . Pour un tube mince ( $R_{2} - R_{1} = e ≪ R_{1}$ ), $ln (1 + e / R_{1}) \approx e / R_{1}$ et l'on retrouve le mur plan $\frac{e}{λ 2 π R _{1} ℓ}$ .