Sondes dans le sol par une nuit claire : d'où vient la chaleur, où va-t-elle ?

La stratégie. La loi de Fourier transforme un écart de température entre deux sondes en densité de flux ; le signe de $j_x$, sur un axe orienté vers le bas, dit si l'énergie monte ou descend. Une couche qui ne reçoit pas par sa face inférieure ce qu'elle perd par sa face supérieure change de température : c'est le bilan d'énergie, écrit sur une couche finie puis sur une couche mince.

1) Le flux remonte. Une différence centrée donne la dérivée au milieu de l'intervalle : $$\frac{\partial T}{\partial x}(2,5\mathrm{cm})\approx \frac{11,0-8,0}{0,05}=60\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1},$$ et de même $40\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}$ vers $7,5\mathrm{cm}$ et $\frac{14,5-13,0}{0,10}=15\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-1}$ vers $15\mathrm{cm}$. Avec $j_x=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}$ : $$j_x(2,5\mathrm{cm})=-60\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},j_x(7,5\mathrm{cm})=-40\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},j_x(15\mathrm{cm})=-15\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ $j_x<0$ sur un axe orienté vers le bas : l'énergie monte, des couches profondes, plus chaudes, vers la surface, plus froide. C'est la non-uniformité de la température qui crée le flux, et il descend la pente de température. La surface reçoit d'en dessous environ $60\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ et ne s'échauffe pas : elle les perd vers le ciel. Par une nuit claire et calme, l'air échange peu ; c'est le rayonnement du sol vers le ciel nocturne, très froid, qui emporte quelques dizaines de watts par mètre carré, l'ordre de grandeur trouvé.

2) Le bilan d'une couche épaisse. La couche $[x_1,x_2]$ est un système fermé, solide, sans travail ni source. Pendant $\mathrm{d}t$, elle reçoit $j_x(x_1)S\mathrm{d}t$ par sa face supérieure (comptée positivement dans le sens de ${\overrightarrow{u}}_x$, donc vers l'intérieur de la couche) et cède $j_x(x_2)S\mathrm{d}t$ par sa face inférieure : $$\rho cS(x_2-x_1)\frac{\mathrm{d}\overline{T}}{\mathrm{d}t}=[j_x(x_1)-j_x(x_2)]S.$$ Ici $j_x(x_1)-j_x(x_2)=-60-(-15)=-45\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ : la couche perd par le haut $60\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ et ne reçoit par le bas que $15$. D'où $$\frac{\mathrm{d}\overline{T}}{\mathrm{d}t}=\frac{-45}{2,0\times 10^6\times 0,125}=-1,8\times 10^{-4}\mathrm{K}{\mathrm{s}}^{-1}=-0,65\mathrm{K}{\mathrm{h}}^{-1}.$$ La couche se refroidit : le régime n'est pas stationnaire. En régime stationnaire sans source, le flux serait le même à toutes les profondeurs.

3) Le bilan d'une couche mince. Sur $[7,5;15\mathrm{cm}]$, $\Delta x=0,075\mathrm{m}$ : $$\frac{\partial T}{\partial t}\approx \frac{j_x(7,5)-j_x(15)}{\rho c\Delta x}=\frac{-40+15}{2,0\times 10^6\times 0,075}=-1,67\times 10^{-4}\mathrm{K}{\mathrm{s}}^{-1}=-0,60\mathrm{K}{\mathrm{h}}^{-1}.$$ En remplaçant chaque $j_x$ par la loi de Fourier : $$\frac{\partial T}{\partial t}\approx \frac{\lambda }{\rho c}\frac{\frac{\partial T}{\partial x}(15)-\frac{\partial T}{\partial x}(7,5)}{\Delta x}=D\frac{15-40}{0,075},D=\frac{1,0}{2,0\times 10^6}=5,0\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La fraction est une estimation de $\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}\approx -333\mathrm{K}{\mathrm{m}}^{-2}$ vers $10\mathrm{cm}$ : on vient d'écrire, sous forme discrète, l'équation de la chaleur $\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$, établie dans l'exercice sur la profondeur hors gel. Les deux bilans concordent ; la couche épaisse contient la partie la plus courbée du profil, près de la surface, et se refroidit un peu plus vite.

4) Courbure et refroidissement. Le profil est concave ($\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}<0$) : la pente diminue avec la profondeur, donc chaque couche perd par le haut davantage qu'elle ne reçoit par le bas, et se refroidit. Un profil convexe se réchaufferait. Un profil affine ferait passer le même flux à toutes les profondeurs : le sol transmettrait l'énergie venue de plus bas sans se refroidir. À $0,6\mathrm{K}{\mathrm{h}}^{-1}$, la couche perd environ $6\mathrm{K}$ en dix heures, l'ordre de grandeur observé.

Ce que l'exercice installe. Le flux est algébrique : $j_x=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}$ se lit avec l'orientation de l'axe, et l'énergie va toujours vers les températures décroissantes. Un flux non uniforme signifie un régime non stationnaire : le bilan $\rho ce\frac{\mathrm{d}\overline{T}}{\mathrm{d}t}=j(\text{entreˊe})-j(\text{sortie})$ chiffre la vitesse de refroidissement, et sur une couche mince il devient l'équation de la chaleur. La courbure du profil dit si la matière se réchauffe ou se refroidit.