Diffusion ou convection : le sucre dans le café

Diffusion de particules · niveau 2

Énoncé

Un morceau de sucre fond au fond d'une tasse de café de hauteur $L = 3 c m$ . Le saccharose diffuse dans l'eau avec $D = 5.2 \times 1 0^{- 10} m^{2} . s^{- 1}$ .

Citer les deux modes de transfert du sucre dans le café et écrire le vecteur densité de flux correspondant.
Sans agitation (café parfaitement immobile), en combien de temps le sucre atteint-il la surface ?
On tourne la cuillère : le liquide circule à $U \approx 1 c m . s^{- 1}$ . Temps de transport ? Comparer les deux modes par le rapport $U L / D$ .

Corrigé

La convection, entraînement par le mouvement d'ensemble du liquide, de vitesse $v_{f}$ , et la diffusion, due à l'agitation thermique des molécules : $_{N} = n v_{f} - D grad n$ .
Sans écoulement, seule reste la diffusion : $τ_{diff} \sim \frac{L ^{2}}{D} = \frac{( 3 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{5.2 \times 1 0 ^{- 10}} = 1.7 \times 1 0^{6} s$ , soit une vingtaine de jours.
$τ_{conv} \sim L / U = 3 s$ . Le rapport des deux temps,

$\frac{τ _{diff}}{τ _{conv}} = \frac{U L}{D} = \frac{e - 2 \times 3 \times 1 0 ^{- 2}}{5.2 \times 1 0 ^{- 10}} = 6 \times 1 0^{5},$

est énorme : dès que le fluide bouge, la convection l'emporte. Il y a même de la convection sans cuillère (le liquide sucré, plus dense, et le liquide chaud, moins dense, se mettent en mouvement), ce qui explique que le sucre ne mette pas trois semaines à se répartir. La diffusion n'achève le mélange qu'aux petites échelles, là où $L^{2} / D$ devient court : $0.1 mm$ en une vingtaine de secondes.