Diffusion stationnaire à symétrie sphérique — exercice corrigé de phénomènes de transport (PSI) (chapitre 3)

Diffusion stationnaire à symétrie sphérique

Diffusion de particules · niveau 2

Énoncé

Une petite sphère de rayon $a$ maintient une densité $n_{a}$ à sa surface ; loin d'elle, $n \to 0$ . Le milieu qui l'entoure est sans source. Déterminer $n (r)$ en régime stationnaire, puis le flux total qui quitte la sphère.

Corrigé

En régime stationnaire sans source, le bilan sur une coquille $[r, r + d r]$ montre que le flux $Φ_{N} = 4 π r^{2} j_{N}$ ne dépend pas de $r$ . Avec la loi de Fick, $- 4 π r^{2} D \frac{d n}{d r} = Φ_{N}$ , soit $\frac{d n}{d r} = - \frac{Φ _{N}}{4 π D r ^{2}}$ , et

$n (r) = \frac{A}{r} + B, A = \frac{Φ _{N}}{4 π D} .$

Les conditions $n (\infty) = 0$ et $n (a) = n_{a}$ donnent $B = 0$ et $A = n_{a} a$ , soit $n (r) = n_{a} \frac{a}{r}$ , et le flux total sortant

$Φ_{N} = 4 π D a n_{a},$

indépendant de $r$ (conservation du flux). Il est proportionnel au rayon $a$ , et non à la surface $4 π a^{2}$ : une petite sphère alimente son voisinage proportionnellement plus qu'une grande. On aurait aussi pu écrire $Δ n = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d n}{d r}) = 0$ , avec l'expression fournie du laplacien. ∎