L'équation de diffusion ne se remonte pas — exercice corrigé de phénomènes de transport (PSI) (chapitre 3)

L'équation de diffusion ne se remonte pas

Diffusion de particules · niveau 2

Énoncé

Dans l'eau, un colorant ( $D = 1 0^{- 9} m^{2} . s^{- 1}$ ) présente à $t = 0$ une inhomogénéité sinusoïdale de période spatiale $Λ = 0.1 mm$ et d'amplitude $a_{0}$ autour d'une concentration moyenne $n_{0}$ .

Montrer que $n = n_{0} + a_{0} e^{- D k^{2} t} sin (k x)$ , avec $k = 2 π /Λ$ , est solution de l'équation de diffusion. Calculer $D k^{2}$ et le temps au bout duquel l'amplitude est divisée par $100$ .
On veut « remonter » de $10 s$ dans le passé à partir d'une mesure faite à $t = 0$ , entachée d'une erreur relative de $1 0^{- 6}$ sur une composante de même période. Que devient cette erreur ? Conclure sur la réversibilité de la diffusion.

Corrigé

$\frac{\partial n}{\partial t} = - D k^{2} a_{0} e^{- D k^{2} t} sin (k x)$ et $D \frac{\partial ^{2} n}{\partial x ^{2}} = - D k^{2} a_{0} e^{- D k^{2} t} sin (k x)$ : les deux membres sont égaux. Avec $k = 2 π / e - 4 = 6.28 \times 1 0^{4} m^{- 1}$ , $D k^{2} = e - 9 \times (6.28 \times 1 0^{4})^{2} = 3.9 s^{- 1}$ : l'amplitude est divisée par $100$ en $ln 100/ (D k^{2}) = 1.2 s$ . Une période dix fois plus grande vivrait cent fois plus longtemps.
En remontant le temps, chaque composante est multipliée par $e^{+ D k^{2} ∣ t ∣}$ : sur $10 s$ , par $e^{39, 5} \approx 1.4 \times 1 0^{17}$ . L'erreur de $1 0^{- 6}$ devient $1 0^{11}$ fois l'amplitude mesurée : le passé n'est pas calculable, et il l'est d'autant moins que les détails sont fins. La diffusion efface l'information sur l'état initial : elle est irréversible, et l'équation qui la décrit, d'ordre 1 en temps, le traduit par sa non-invariance dans le changement $t \to - t$ .