L'implanteur ionique : compter les ions qui traversent une plaquette

La stratégie. Le courant compte des charges, le flux compte des ions : avec des ions une fois chargés, $\Phi =I/e$. La densité de flux est ce flux par unité de surface perpendiculaire à la vitesse ; sur une surface inclinée, seule la composante normale de ${\overrightarrow{ȷ}}_N$ compte, d'où un facteur $\cos \theta$.

1) Flux, densité de flux, densité. Chaque ion porte la charge $e$, donc $$\Phi =\frac{I}{e}=\frac{5,0\times 10^{-3}}{1,602\times 10^{-19}}=3,12\times 10^{16}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le faisceau étant homogène, $j_N=\Phi /S_f=3,12\times 10^{16}/2,0\times 10^{-4}=1,56\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$. La vitesse se déduit de l'énergie cinétique (non relativiste : $20\mathrm{keV}$ contre $m{c}^2\approx 10\mathrm{GeV}$) : $$v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 20\times 10^3\times 1,602\times 10^{-19}}{11,009\times 1,6605\times 10^{-27}}}=5,92\times 10^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et la densité $n=j_N/v=2,6\times 10^{14}{\mathrm{m}}^{-3}$. Un gaz sous $1\mathrm{bar}$ à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ contient $P/(k_{B}T)=2,5\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$ molécules : le faisceau est cent milliards de fois moins dense qu'un gaz, et son flux est pourtant élevé parce que ses ions vont vite : c'est le sens de ${\overrightarrow{ȷ}}_N=n\overrightarrow{v}$. Le vide s'impose pour que les ions franchissent le mètre qui sépare la source de la plaquette sans heurter de molécule ; sous $1\mathrm{bar}$, ils en heurteraient une tous les dixièmes de micromètre.

2) Dose et durée. La plaquette a l'aire $A=\pi \times (0,150{)}^2=7,07\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$, et la dose vaut $5\times 10^{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-2}=5\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-2}$ : $$N=5\times 10^{19}\times 7,07\times 10^{-2}=3,53\times 10^{18}\text{ions},t=\frac{N}{\Phi }=\frac{3,53\times 10^{18}}{3,12\times 10^{16}}=113\mathrm{s}.$$ Deux minutes par plaquette pour une dose forte : c'est l'ordre de grandeur des implanteurs dits « fort courant ».

3) Surface inclinée. Par définition du flux à travers une surface orientée, l'élément $\mathrm{d}S$ de plaquette est traversé par $$\mathrm{d}\Phi ={\overrightarrow{ȷ}}_N\cdot {\overrightarrow{u}}_n\mathrm{d}S={\bar{ȷ}}_N\cos \theta \mathrm{d}S$$ ions par seconde : ceux du cylindre oblique de base $\mathrm{d}S$ et de génératrice $\overrightarrow{v}\mathrm{d}t$, dont le volume est $v\mathrm{d}t\cos \theta \mathrm{d}S$. La dose reçue par unité de temps est donc ${\bar{ȷ}}_N\cos \theta$ : à durée égale, la dose est multipliée par $\cos 7^{\circ }=0,9925$, soit une perte de $0,75\%$. On la compense en prolongeant l'implantation de $113\times (1/\cos 7^{\circ }-1)=0,85\mathrm{s}$ : la régulation mesure le courant dans la cage de Faraday, perpendiculaire au faisceau, et corrige du facteur $\cos \theta$. Orienter la plaquette par $-{\overrightarrow{u}}_n$ change le signe du flux, pas le nombre d'ions qui la traversent : le signe d'un flux n'a de sens qu'avec l'orientation choisie.

4) Surface fermée et charge. Orientée vers l'extérieur, la face d'entrée du faisceau a une normale opposée à $\overrightarrow{v}$ : elle contribue pour $-\Phi$ ; la face de sortie contribue pour $+\Phi$ ; les faces latérales, que le faisceau ne traverse pas, pour $0$. Le flux total sortant est nul : en régime permanent, et en l'absence de source, autant d'ions entrent dans $\Sigma$ qu'il en sort, faute de quoi leur nombre à l'intérieur varierait. Ce n'est plus vrai quand le front du faisceau traverse $\Sigma$, à l'allumage.

La plaquette reçoit $Ne=3,53\times 10^{18}\times 1,602\times 10^{-19}=0,57\mathrm{C}$. En une microseconde, $q=I\times 10^{-6}\mathrm{s}=5\times 10^{-9}\mathrm{C}$ suffit à porter une plaquette isolée à $q/C=5\times 10^{-9}/10^{-11}=500\mathrm{V}$ : elle repousserait le faisceau et claquerait les oxydes minces des grilles. D'où deux nécessités : neutraliser la charge (on fait pleuvoir sur la plaquette des électrons lents) et, puisque la plaquette ne peut pas servir à compter, mesurer la dose ailleurs, dans la cage de Faraday : chaque ion une fois chargé y apporte la charge $e$, et l'intégrale du courant divisée par $eA$ donne la dose.

Ce que l'exercice installe. ${\overrightarrow{ȷ}}_N=n\overrightarrow{v}$, et le flux à travers une surface orientée, $\Phi =\iint {\overrightarrow{ȷ}}_N\cdot {\overrightarrow{u}}_n\mathrm{d}S$, algébrique, avec son facteur $\cos \theta$ ; une dose est l'intégrale en temps d'une densité de flux. Et le premier bilan : à travers une surface fermée, sans source et en régime permanent, le flux net est nul.