Pourquoi un tissu sans vaisseaux reste mince

La stratégie. Bilan sur une tranche avec un puits, loi de Fick, régime stationnaire justifié par $L^2/D$ ; deux conditions aux limites de nature différente (concentration imposée, flux nul) ; la condition « $c⩾0$ partout » donne une épaisseur critique, dont la loi d'échelle se lit avant tout calcul : une longueur construite avec $D$, $c_0$ et $q$.

1) Le bilan avec un puits. La tranche contient $cS\mathrm{d}x$ moles. Pendant $\mathrm{d}t$, il entre $j(x)S\mathrm{d}t$, il sort $j(x+\mathrm{d}x)S\mathrm{d}t$, et les cellules en consomment $qS\mathrm{d}x\mathrm{d}t$ : $$\frac{\partial c}{\partial t}S\mathrm{d}x=-\frac{\partial j}{\partial x}\mathrm{d}xS-qS\mathrm{d}x⟹\frac{\partial c}{\partial t}=-\frac{\partial j}{\partial x}-q=D\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2}-q,$$ avec la loi de Fick $j=-D\frac{\partial c}{\partial x}$ et $D$ uniforme. En régime stationnaire, $D\frac{{\mathrm{d}}^{2}c}{\mathrm{d}{x}^2}=q$ : la courbure du profil est imposée par la consommation. Le profil s'établit en $L^2/D=(4\times 10^{-4}{)}^2/2,0\times 10^{-9}=80\mathrm{s}$, contre des heures pour la vie d'une culture : le régime stationnaire est justifié.

2) Le feuillet en culture. $q=10^8\times 10^6{\mathrm{m}}^{-3}\times 5\times 10^{-17}\mathrm{mol}{\mathrm{s}}^{-1}=5\times 10^{-3}\mathrm{mol}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{s}}^{-1}$. Conditions : $c(0)=c_0$ (le milieu, bien plus volumineux et au contact de l'air, impose sa concentration) ; flux nul à travers le support étanche, $j(L)=0$, soit $\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}(L)=0$. En intégrant deux fois $c^{\prime \prime }=q/D$ : $c=\frac{q}{2D}{x}^2+\alpha x+c_0$, et $c^{\prime }(L)=\frac{qL}{D}+\alpha =0$ donne $\alpha =-\frac{qL}{D}$, soit $$c(x)=c_0-\frac{q}{2D}x(2L-x).$$ En $x=0$, $j(0)=-D{c}^{\prime }(0)=qL>0$ : le flux qui entre par unité de surface est exactement ce que consomme la colonne de cellules d'épaisseur $L$ — un bilan global sur tout le feuillet, qui vérifie le calcul. La concentration est minimale sur le support : $c(L)=c_0-\frac{q{L}^2}{2D}$. Elle reste positive si $$L<L_c=\sqrt{\frac{2D{c}_0}{q}}=\sqrt{\frac{2\times 2,0\times 10^{-9}\times 0,20}{5\times 10^{-3}}}=4,0\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,40\mathrm{mm}.$$ Un feuillet de culture ne dépasse pas quelques dixièmes de millimètre. La loi d'échelle se retrouve sans calcul : la seule longueur qu'on peut former avec $D$ (en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$), $c_0$ et $q$ est $\sqrt{D{c}_0/q}$.

3) Dans le corps. $L_c=\sqrt{2\times 2,0\times 10^{-9}\times 0,10/2\times 10^{-2}}=1,4\times 10^{-4}\mathrm{m}=0,14\mathrm{mm}$ ; avec un seuil de $0,01\mathrm{mol}{\mathrm{m}}^{-3}$, on remplace $c_0$ par $c_0-0,01$ : $0,13\mathrm{mm}$. Une cellule ne peut pas être à plus d'une centaine de micromètres d'un capillaire : entre deux capillaires parallèles, qui nourrissent le tissu par ses deux faces, la distance ne dépasse pas deux à trois dixièmes de millimètre. C'est bien ce qu'on observe (quelques dizaines de micromètres dans un muscle actif). Le modèle plan ne donne qu'un ordre de grandeur : autour d'un capillaire, la géométrie est cylindrique.

4) Cas limites. Si $L>L_c$, le profil parabolique atteint zéro avant le support. Au-delà, les cellules ne consomment plus rien ($q=0$, elles meurent) : c'est une zone anoxique où $c=0$. Le front se place là où $c$ et son flux s'annulent ensemble, ce que réalise $c=c_0(1-x/L_c{)}^2$ sur $[0,L_c]$ : la partie vivante a exactement l'épaisseur critique, quelle que soit $L$. Pour le cartilage, $L_c$ est multiplié par $\sqrt{50}=7,1$ : $2,8\mathrm{mm}$, l'épaisseur réelle d'un cartilage articulaire, qui vit sans vaisseaux. Nourri par ses deux faces, un tissu a, par symétrie, un flux nul dans son plan médian : chaque moitié est le feuillet sur support étanche, et l'épaisseur critique double. Un tissu actif fabriqué en laboratoire ne dépasse pas quelques dixièmes de millimètre, à moins de le perfuser ou de lui donner des vaisseaux : c'est l'un des verrous de l'ingénierie tissulaire.

Ce que l'exercice installe. L'équation locale avec un puits, établie sur une tranche ; deux conditions aux limites (concentration imposée, flux nul) ; la vérification d'un résultat local par un bilan global ; et une loi d'échelle $L_c\propto \sqrt{D{c}_0/q}$ que l'analyse dimensionnelle donne avant le calcul.