Problème : la cémentation d'un pignon, ou la loi de Harris

La stratégie. Bilan sur une tranche et loi de Fick donnent l'équation ; la solution fournie se vérifie par dérivation composée. Elle ne dépend que de $u=x/(2\sqrt{Dt})$ : toute profondeur d'isoteneur est proportionnelle à $\sqrt{Dt}$, d'où la loi en $\sqrt{t}$ à température fixée, et l'effet de la température par $D(T)$. On vérifie enfin les hypothèses (milieu semi-infini, surface à teneur imposée).

1) Mise en équation. La tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ de section $S$ contient la masse de carbone $\rho cS\mathrm{d}x$. Sans source (le carbone ne naît ni ne disparaît dans l'acier), avec $j_m$ la densité de flux de masse de carbone : $$\frac{\partial (\rho c)}{\partial t}=-\frac{\partial j_m}{\partial x},j_m=-D\frac{\partial (\rho c)}{\partial x}⟹\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2},$$ $\rho$ et $D$ étant uniformes. Conditions : $c(0,t)=c_s$ pour $t>0$ (l'atmosphère impose la teneur de surface) ; $c(x,0)=c_0$ pour $x>0$ ; $c\to c_0$ quand $x\to \infty$ (milieu semi-infini).

2) La solution, sa variable, son invariance. Notons $F=\mathrm{erfc}$, $\Delta =c_s-c_0$, et $u=x/(2\sqrt{Dt})$ ; alors $\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{u}{2t}$ et $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{Dt}}$. Avec $F^{\prime }(u)=-\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-u^2}$, on a $F^{\prime \prime }(u)=-2u{F}^{\prime }(u)$. Donc $$\frac{\partial c}{\partial t}=\Delta F^{\prime }(u)\left(-\frac{u}{2t}\right),D\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2}=D\frac{\Delta F^{\prime \prime }(u)}{4Dt}=-\frac{\Delta u{F}^{\prime }(u)}{2t}:$$ les deux membres sont égaux, l'équation est satisfaite. En $x=0$, $u=0$ et $c=c_0+\Delta \times 1=c_s$ ; pour $x>0$ fixé et $t\to 0^{+}$, $u\to +\infty$ et $c\to c_0$ : les conditions sont satisfaites. La solution ne dépend que de $u$. Si $c(x,t)$ est solution, $c(kx,k^{2}t)$ l'est aussi, puisque $\frac{\partial }{\partial t}$ et $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$ prennent le même facteur $1/k^2$, et que les conditions (en $x=0$, en $t=0$, à l'infini) sont inchangées : un profil qui ne dépend que de $x/\sqrt{t}$ était attendu. Une teneur $c$ donnée correspond à une valeur de $\theta =\frac{c-c_0}{c_s-c_0}=\mathrm{erfc}(u)$, donc à une valeur de $u$ : $$x_{\theta }=2{\mathrm{erfc}}^{-1}(\theta )\sqrt{Dt}.$$ Toute profondeur d'isoteneur croît comme $\sqrt{t}$. Tracés en fonction de $u$, les profils de tous les instants se superposent en une seule courbe.

3) La durée du traitement. À $927{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($1200\mathrm{K}$) : $$D=2,3\times 10^{-5}\exp \left(-\frac{148\times 10^3}{8,314\times 1200}\right)=8,3\times 10^{-12}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La profondeur efficace correspond à $\theta =\frac{0,35-0,20}{0,90-0,20}=0,214$, et le tableau donne, par interpolation entre $0,87$ et $0,88$, ${\mathrm{erfc}}^{-1}(0,214)=0,878$. Donc $$t=\frac{1}{D}{\left(\frac{x}{2\times 0,878}\right)}^2=\frac{(0,8\times 10^{-3}/1,756{)}^2}{8,3\times 10^{-12}}=2,5\times 10^4\mathrm{s}=6,9\mathrm{h},$$ une durée d'atelier typique. Ainsi $x=K\sqrt{t}$ avec $K=0,8/\sqrt{6,9}=0,30\mathrm{mm}{\mathrm{h}}^{-1/2}$. La « profondeur totale » de Harris, $0,635\sqrt{t}$, correspond à $u=\frac{0,635\times 10^{-3}}{2\sqrt{8,3\times 10^{-12}\times 3600}}=1,83$, soit $\theta =\mathrm{erfc}(1,83)\approx 0,010$ : la teneur y vaut $0,207\%$, à peine plus que celle du cœur. La formule d'atelier repère la profondeur où l'enrichissement devient indiscernable.

Les points marquent la profondeur efficace : $0,43$, $0,61$ et $0,80\mathrm{mm}$ après $2$, $4$ et $6,9\mathrm{h}$, proportionnelles à $\sqrt{2}$, $\sqrt{4}$, $\sqrt{6,9}$.

4) La température. À profondeur fixée, $t\propto 1/D(T)$. D'où $t(870{}^{\circ }\mathrm{C})=2,09t(927{}^{\circ }\mathrm{C})$ ($D=3,97\times 10^{-12}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$), $t(980{}^{\circ }\mathrm{C})=0,53t$ ($1,56\times 10^{-11}$) et $t(1050{}^{\circ }\mathrm{C})=0,25t$ ($3,31\times 10^{-11}$) : gagner cent vingt degrés divise la durée par quatre. On ne chauffe pas toujours plus : les grains de l'acier grossissent, ce qui le fragilise, et les pièces se déforment. Pour la formule complète, $K\propto 10^{-6700/T_R}=\exp \left(-\frac{6700\ln 10}{1,8T}\right)$. Or $x\propto \sqrt{Dt}$ impose $K\propto \sqrt{D}\propto \exp \left(-\frac{E_a}{2RT}\right)$. En identifiant, $$\frac{E_a}{2R}=\frac{6700\ln 10}{1,8}⟹E_a=\frac{2\times 8,314\times 6700\times \ln 10}{1,8}=142,5\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1},$$ à $4\%$ des $148\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ mesurés pour la diffusion du carbone dans le fer $\gamma$ : la formule d'atelier n'est rien d'autre que $\sqrt{D(T)t}$, ajustée sur des mesures.

5) Les limites. En fin de traitement, $\sqrt{Dt}=\sqrt{8,3\times 10^{-12}\times 2,5\times 10^4}=0,46\mathrm{mm}$ et $4\sqrt{Dt}=1,8\mathrm{mm}$ : au-delà, $\mathrm{erfc}(2)<0,5\%$, l'acier n'a pas changé. Le flanc, de demi-épaisseur voisine de $2,4\mathrm{mm}$ à mi-hauteur, est bien semi-infini pour chacune de ses deux faces. La pointe, de demi-épaisseur $1\mathrm{mm}$, ne l'est pas : les carbones venus des deux flancs s'y rejoignent, elle est cémentée à cœur et, après trempe, devient dure dans toute son épaisseur et cassante. Le défaut est connu : on cémente moins profond, ou l'on protège les pointes.

Le flux de masse de carbone qui entre par la surface vaut, avec $\frac{\partial c}{\partial x}(0,t)=\frac{\Delta F^{\prime }(0)}{2\sqrt{Dt}}=-\frac{\Delta }{\sqrt{\pi Dt}}$ : $$j_m(0,t)=-\rho D\frac{\partial c}{\partial x}(0,t)=\rho (c_s-c_0)\sqrt{\frac{D}{\pi t}}.$$ Avec $c_s-c_0=0,0070$ et $\rho (c_s-c_0)=54,6\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ : $41\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{h}}^{-1}$ après une minute, $5,3$ après une heure, $2,0$ en fin de traitement. Il entre au total $$m={\int }_0^t{j}_m\mathrm{d}{t}^{\prime }=2\rho (c_s-c_0)\sqrt{\frac{Dt}{\pi }}=2\times 54,6\times \sqrt{\frac{8,3\times 10^{-12}\times 2,5\times 10^4}{\pi }}=2,8\times 10^{-2}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2},$$ soit $28\mathrm{g}$ de carbone par ${\mathrm{m}}^2$, absorbés en $\sqrt{t}$ et non en $t$. Le flux est vingt fois plus fort au début qu'à la fin : si l'atmosphère ne suit pas dans les premières minutes, la teneur de surface reste inférieure à $c_s$ et l'hypothèse « teneur imposée » tombe ; d'où les cycles des fours sous vide, qui alternent enrichissements brefs et phases de diffusion sans apport. Une fois la pièce refroidie, l'extrapolation de la loi d'Arrhenius donne $D(20{}^{\circ }\mathrm{C})\sim 10^{-31}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ (l'acier n'est plus du fer $\gamma$ à froid, mais l'ordre de grandeur suffit) : la couche est figée.

6) Le résultat. Avec $D=8,3\times 10^{-12}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ à $927{}^{\circ }\mathrm{C}$ et la proportionnalité de la durée à $1/D$ :

Une profondeur efficace de $1,6\mathrm{mm}$ à $927{}^{\circ }\mathrm{C}$ demande quatre fois plus de temps, $28\mathrm{h}$ : on ne double pas une profondeur cémentée en doublant la durée.

Le résultat obtenu — la loi de Harris. Dans un acier dont la surface est maintenue à la teneur $c_s$ par l'atmosphère du four, le profil de carbone ne dépend que de $u=x/(2\sqrt{Dt})$ : $c=c_0+(c_s-c_0)\mathrm{erfc}u$. Toute profondeur définie par une teneur fixée croît comme la racine carrée du temps, $x=K(T)\sqrt{t}$, avec $K=2{\mathrm{erfc}}^{-1}(\theta )\sqrt{D(T)}$ proportionnel à $\sqrt{D}$ ; à $927{}^{\circ }\mathrm{C}$, $K=0,30\mathrm{mm}{\mathrm{h}}^{-1/2}$ pour la profondeur efficace et $0,635\mathrm{mm}{\mathrm{h}}^{-1/2}$ pour la profondeur totale de l'atelier. Doubler la profondeur demande quatre fois plus de temps ; gagner du temps demande de chauffer.

Ce que l'exercice installe. Le chemin complet d'un problème de diffusion : bilan sur une tranche, loi de Fick, équation, conditions, solution fournie vérifiée, puis la lecture en $x/\sqrt{Dt}$, qui donne la loi d'échelle sans résoudre l'équation, et la vérification des hypothèses (milieu semi-infini, teneur de surface imposée) par des ordres de grandeur. Il ne refait pas le recuit du silicium : là, une dose se conservait, sous une surface fermée au flux ; ici, la surface impose sa teneur, et la quantité absorbée croît en $\sqrt{t}$.