Combien d'états liés ? La discussion graphique

La stratégie. Une équation transcendante ne se résout pas à la main, mais elle se discute : on lit sur un graphe combien elle a de solutions et où elles sont. Le cercle porte la conservation de l'énergie, les branches portent les conditions de continuité.

1) Lire le graphe. Un état lié est un couple $(k,\kappa )$ qui vérifie à la fois la condition de continuité de sa parité (une branche) et la relation $k^2+{\kappa }^2=2m^{\ast }{V}_0/{\hslash }^2$, qui exprime que les énergies cinétique intérieure $E$ et « manquante » $V_0-E$ ont pour somme $V_0$ ; multipliée par $L^2/4$, elle devient $u^2+v^2=R^2$ (le quart de cercle). Une intersection est donc un état, et réciproquement. Pour l'énergie, $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}=\frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }}\frac{4u^2}{L^2}$ et $R^2=\frac{L^2}{4}\frac{2m^{\ast }{V}_0}{{\hslash }^2}$, d'où $$E=V_0\frac{u^2}{R^2}.$$ Les branches positives partent de l'axe $v=0$ aux abscisses $u=0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\dots$, alternativement paires et impaires, et montent jusqu'à l'infini au multiple suivant de $\pi /2$ ; chacune est croissante. Le quart de cercle descend de $v=R$ à $v=0$ quand $u$ va de $0$ à $R$ : il coupe une fois exactement chaque branche qui part avant $R$, et aucune autre. Les branches qui partent en $u=j\pi /2$ avec $j\pi /2<R$ sont au nombre de $1+\lfloor 2R/\pi \rfloor$ : le rayon $R$ compte les états. Le cercle étant borné, ce nombre est fini — contrairement au puits infini.

2) Le puits de $10\mathrm{nm}$. $R=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{V_0}{{\hslash }^2/(2m^{\ast })}}=5\times \sqrt{\frac{0,25}{0,569}}=5\times 0,663=3,315$. Comme $2R/\pi =2,11$, il y a trois états liés : les branches qui partent en $0$, $\pi /2$ et $\pi =3,14<R$ sont coupées, pas celle qui part en $3\pi /2=4,71$. Les énergies : $$E_1=0,25\times {\left(\frac{1,200}{3,315}\right)}^2=32,8\mathrm{meV},E_2=0,25\times {\left(\frac{2,353}{3,315}\right)}^2=125,9\mathrm{meV},$$ $$E_3=0,25\times {\left(\frac{3,282}{3,315}\right)}^2=245,1\mathrm{meV}.$$ Le troisième point est tout près de l'axe $v=0$ ($v=0,47$) : ${\kappa }_3$ est petit, l'état déborde beaucoup. Pour $L=20\mathrm{nm}$, $R$ double, $R=6,63$ et $2R/\pi =4,22$ : cinq états liés (à $10,6$ ; $42,0$ ; $93,5$ ; $162,5$ ; $239,5\mathrm{meV}$, pour information).

3) Toujours au moins un état. La première branche paire part de l'origine : tout quart de cercle, si petit soit-il, la coupe. Un puits symétrique, si peu profond ou si étroit soit-il, a toujours au moins un état lié, pair. Pour $5\mathrm{nm}$ et $0,10\mathrm{eV}$ : $R=2,5\times \sqrt{0,10/0,569}=1,048<\pi /2$, un seul état lié. Son énergie vaut $$E=0,10\times {\left(\frac{0,760}{1,048}\right)}^2=52,5\mathrm{meV},$$ et $v=\sqrt{R^2-u^2}=\sqrt{1,099-0,578}=0,722$, donc $\kappa =2v/L=0,289\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $1/\kappa =3,5\mathrm{nm}$ : l'onde déborde sur une longueur comparable à la largeur du puits (un calcul comme celui des puits GaAs donnerait $30\%$ de probabilité hors du puits). Le modèle du puits infini donnerait $E_1^{\infty }={\pi }^2\times 0,569/25=224,5\mathrm{meV}$, plus du double de $V_0$ : il n'y aurait aucun niveau sous le bord du puits, alors qu'il y en a un.

4) Les seuils. La branche qui part en $u=(N-1)\pi /2$ est coupée dès que $R>(N-1)\pi /2$ : le $N$-ième état apparaît pour $$\frac{L^2}{4}\frac{2m^{\ast }{V}_0}{{\hslash }^2}=(N-1{)}^2\frac{{\pi }^2}{4}⟺V_0=(N-1{)}^2\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m^{\ast }{L}^2}=(N-1{)}^2\frac{h^2}{8m^{\ast }{L}^2}=(N-1{)}^2{E}_1^{\infty }.$$ Un nouvel état lié apparaît chaque fois que la profondeur atteint un niveau du puits infini de même largeur. Pour $L=10\mathrm{nm}$, les seuils sont $0$ ; $56,1$ ; $224,5$ ; $505\mathrm{meV}$ : avec $V_0=250\mathrm{meV}$, entre le troisième et le quatrième, il y a bien trois états. À $V_0=0,25\mathrm{eV}$ fixé, un seul état tant que $R<\pi /2$, soit $$L<\frac{\pi \hslash }{\sqrt{2m^{\ast }{V}_0}}=\pi \sqrt{\frac{0,569}{0,25}}\mathrm{nm}=4,74\mathrm{nm},$$ et un troisième état dès que $R>\pi$, soit $L>9,48\mathrm{nm}$. Le puits de $10\mathrm{nm}$ vient de franchir ce seuil : son troisième état vient d'apparaître, d'où son énergie proche de $V_0$ et son large débordement. C'est le comportement général : un état naît au bord du puits, presque délocalisé, puis descend et se resserre quand le puits s'approfondit.

5) La limite du puits infini. Quand $V_0\to \infty$, $R\to \infty$ : le quart de cercle coupe les branches très haut, là où elles approchent de leurs asymptotes verticales $u=\pi /2,\pi ,3\pi /2\dots$ Les intersections tendent donc vers $u_n=n\pi /2$, soit $k_{n}L/2=n\pi /2$, $k_n=n\pi /L$ et $$E_n\to \frac{{\hslash }^2}{2m^{\ast }}{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2=\frac{n^2{h}^2}{8m^{\ast }{L}^2}=E_n^{\infty }.$$ Dans le même temps, $v\to \infty$, donc $\kappa \to \infty$ : l'onde ne déborde plus. Pour $V_0$ fini, chaque intersection est à gauche de son asymptote, $u_n<n\pi /2$ : tous les niveaux sont en dessous de ceux du puits infini.

Ce que l'exercice installe. Une équation de quantification fournie se discute sur un graphe : les branches portent la continuité, le cercle porte l'énergie, et le rayon $R=\frac{L}{2\hslash }\sqrt{2m^{\ast }{V}_0}$ compte les états. Il y en a toujours au moins un ; un nouveau apparaît chaque fois que $V_0$ franchit $(N-1{)}^2{E}_1^{\infty }$ ; à la limite $V_0\to \infty$, on retrouve le puits infini, approché par en dessous.