Corde, cavité laser, électron en boîte : mêmes modes, autres spectres

La stratégie. On sépare la variable de temps : il reste dans les trois cas la même équation différentielle en $x$, avec les mêmes conditions aux bords, donc les mêmes solutions. La différence n'apparaît qu'au moment de relier le nombre d'onde $k_n=n\pi /L$ à une fréquence : c'est le rôle de la relation de dispersion.

1) Les mêmes modes. Corde : en reportant $y=f(x)\cos (\omega t)$ dans l'équation de d'Alembert, il vient $f^{\prime \prime }+k^{2}f=0$ avec $k=\omega /c$. Cavité : même calcul pour le champ. Électron : l'équation de Schrödinger stationnaire dans le puits, où $V=0$, s'écrit ${\phi }^{\prime \prime }+k^2\phi =0$ avec $k^2=2mE/{\hslash }^2$. Dans les trois cas, la solution générale est $A\sin (kx)+B\cos (kx)$. L'annulation en $x=0$ impose $B=0$ ; l'annulation en $x=L$ impose $\sin (kL)=0$ avec $A\ne 0$ (sinon l'onde est nulle), donc $kL=n\pi$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ($n=0$ donnerait l'onde nulle, et $n<0$ redonne les mêmes profils au signe près). Les profils sont $\sin (n\pi x/L)$, et la longueur d'onde ${\lambda }_n=2\pi /k_n=2L/n$ vérifie $$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}:$$ un nombre entier de demi-longueurs d'onde dans la boîte. C'est un résultat sur l'équation en $x$ et sur les bords, pas sur la nature de l'onde.

2) Deux spectres équidistants. Pour la corde, $\omega =ck$, donc $f_n=\frac{c{k}_n}{2\pi }=n\frac{c}{2L}$. Le fondamental donne $c=2L{f}_1=2\times 0,65\times 110=143\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et les fréquences propres valent $110$, $220$, $330\mathrm{Hz}$… : les harmoniques sont équidistantes, multiples entiers du fondamental, ce qui fait la hauteur bien définie d'une note de musique. Pour la cavité, $\omega =ck$ aussi, avec $c$ la vitesse de la lumière : l'ordre du mode vaut $$n=\frac{2L}{\lambda }=\frac{2\times 0,30}{633\times 10^{-9}}\approx 9,5\times 10^5,$$ et deux modes voisins sont séparés de $\Delta \nu =c/(2L)=500\mathrm{MHz}$, soit, en valeur relative, $\Delta \nu /\nu =1/n\approx 10^{-6}$. La courbe de gain, large de $1,5\mathrm{GHz}$, contient trois modes : le laser émet sur trois fréquences voisines. C'est le cas des grands $n$ : la condition $L=n\lambda /2$ ne contraint plus guère la longueur d'onde, qui paraît pouvoir prendre presque toutes les valeurs.

3) Le spectre de l'électron. Avec la relation de de Broglie, l'impulsion du mode $n$ vaut $p_n=h/{\lambda }_n=nh/(2L)$, et son énergie, purement cinétique dans le puits, $$E_n=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2},$$ c'est la formule du cours, obtenue en une ligne. Homogénéité : $h^2/(m{L}^2)$ s'exprime en ${\mathrm{J}}^2{\mathrm{s}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-2}$, et comme $1\mathrm{J}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$, c'est bien une énergie. Pour $L=1,0\mathrm{nm}$ : $$E_1=\frac{(6,626\times 10^{-34}{)}^2}{8\times 9,109\times 10^{-31}\times (10^{-9}{)}^2}=6,02\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,376\mathrm{eV},$$ et la fréquence associée vaut ${\nu }_1=E_1/h=9,1\times 10^{13}\mathrm{Hz}$. Les niveaux sont dans les rapports $1:4:9$. Les trois relations de dispersion sont $\omega =ck$ (corde, célérité $143\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$), $\omega =ck$ (lumière) et, pour l'électron, $\omega =E/\hslash =\frac{\hslash k^2}{2m}$. Les nombres d'onde permis sont les mêmes, $k_n=n\pi /L$ ; une relation linéaire donne des fréquences proportionnelles à $n$, une relation quadratique des fréquences proportionnelles à $n^2$. C'est la relation de dispersion qui fait le spectre.

4) État stationnaire et onde stationnaire. Un mode de la corde, $y_n(x,t)=Y\sin (k_{n}x)\cos ({\omega }_{n}t)$, est une onde stationnaire au sens usuel : chaque point vibre, le profil change de signe deux fois par période, et la grandeur observée, le déplacement, dépend du temps. L'état ${\Psi }_n(x,t)={\phi }_n(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{n}t/\hslash }$ a les mêmes nœuds, mais sa seule dépendance temporelle est un facteur de phase global de module $1$ : la densité de présence $|{\Psi }_n{|}^2={\phi }_n^2$ est figée. Rien n'y vibre ; c'est le sens du mot « stationnaire ».

Superposons les deux premiers modes. La corde, $y=Y_1\sin (k_{1}x)\cos ({\omega }_{1}t)+Y_2\sin (k_{2}x)\cos ({\omega }_{2}t)$, émet un son qui contient les deux fréquences $110$ et $220\mathrm{Hz}$, chacune mesurable. Pour l'électron, avec des coefficients réels $c_1$ et $c_2$, la densité vaut (le problème l'établira) $$|\Psi {|}^2=c_1^2{\phi }_1^2+c_2^2{\phi }_2^2+2c_1{c}_2{\phi }_1{\phi }_2\cos \left(\frac{(E_2-E_1)t}{\hslash }\right):$$ on n'observe que la différence $(E_2-E_1)/h=3{\nu }_1\approx 2,7\times 10^{14}\mathrm{Hz}$, jamais ${\nu }_1$ ni ${\nu }_2$ séparément. Et il ne peut pas en être autrement : ajouter une constante $V_0$ au potentiel ajoute $V_0$ à toutes les énergies et multiplie $\Psi$ par le facteur global ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{V}_{0}t/\hslash }$, sans rien changer d'observable. La fréquence ${\nu }_1=E_1/h$ dépend de l'origine des énergies ; la fréquence $110\mathrm{Hz}$ de la corde, non.

5) Le spectre en $1:4:9$. Il faut ${\omega }_n\propto k_n^2$, c'est-à-dire $\omega =\alpha k^2$ : la relation de dispersion de l'électron libre, au facteur près. La règle sur deux appuis en est un exemple : $f_n=\frac{\alpha }{2\pi }{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2=n^2{f}_1$, d'où $f_2=100\mathrm{Hz}$ et $f_3=225\mathrm{Hz}$. Ses partiels ne sont pas harmoniques : la règle frappée sonne comme un objet métallique, sans note franche. Le spectre d'une particule dans une boîte est celui d'une règle vibrante, pas celui d'une corde : une analogie se juge sur la relation de dispersion autant que sur les conditions aux limites.

Ce que l'exercice installe. Une onde confinée entre deux nœuds a toujours les modes $\sin (n\pi x/L)$ et la condition $L=n{\lambda }_n/2$ ; c'est la relation de dispersion qui transforme ces modes en spectre, équidistant pour $\omega =ck$, en $n^2$ pour $\omega \propto k^2$. Et la distinction exigée par le programme : un état stationnaire a une densité figée (phase globale), une onde stationnaire vibre ; seules les différences d'énergie sont observables.