Devant un mur : rides de densité électronique, et ce que « stationnaire » veut dire

La stratégie. On superpose les deux ondes (linéarité), la condition au mur fixe leur rapport, puis on compare terme à terme à l'onde stationnaire d'une corde : mêmes nœuds, pas la même dépendance temporelle.

1) La condition au mur. La particule ne pénètre pas là où $V=+\infty$ : $\psi =0$ pour $x<0$, et la continuité impose $\psi (0,t)=0$ (cours, potentiel infini). Or $\psi (0,t)=(A+B){\mathrm{e}}^{-i\omega t}$ : $A=-B$, les deux ondes ont même amplitude, le mur réfléchit tout, et $$\psi (x,t)=A\left({\mathrm{e}}^{ikx}-{\mathrm{e}}^{-ikx}\right){\mathrm{e}}^{-i\omega t}=2iA\sin (kx){\mathrm{e}}^{-i\omega t}(x\ge 0).$$ C'est un produit $\phi (x){\mathrm{e}}^{-iEt/\hslash }$ : un état stationnaire, superposition de deux ondes de même énergie (exercice 4, question 3). La dérivée vaut $2iAk{\mathrm{e}}^{-i\omega t}$ en $0^{+}$ et $0$ en $0^{-}$ : discontinue, comme l'annonce le cours là où le potentiel est infini.

2) Les rides. $|\psi {|}^2=4|A{|}^2{\sin }^2(kx)=2|A{|}^2\left[1-\cos (2kx)\right]$, indépendante du temps, nulle au mur et en $x_n=n\lambda /2$ : nœuds de densité tous les $\lambda /2$, entre lesquels elle monte à $4|A{|}^2$, quatre fois la densité de l'onde incidente seule. C'est le terme d'interférence entre onde incidente et onde réfléchie.

3) Corde et électron. Pour $A$ réel, $\psi =2A\sin (kx)\left[\sin (\omega t)+i\cos (\omega t)\right]$ : $\mathrm{Re}\psi =2A\sin (kx)\sin (\omega t)$ et $\mathrm{Im}\psi =2A\sin (kx)\cos (\omega t)$, deux ondes stationnaires de corde, en quadrature. À $T/4$, la corde est plate partout ; la fonction d'onde vaut alors $2A\sin (kx)$, et $|\psi {|}^2$ n'a pas bougé. Mêmes nœuds ; mais entre les nœuds la corde passe par zéro deux fois par période, la densité de présence jamais. Enfin $\sin (kx)\cos (\omega t)=\frac{1}{2}\sin (kx)\left({\mathrm{e}}^{-i\omega t}+{\mathrm{e}}^{i\omega t}\right)$ contient un terme de pulsation $-\omega$, soit d'énergie $-E<0$, alors que l'équation libre impose $\hslash \omega ={\hslash }^2{k}^2/2m>0$ : l'onde stationnaire de la corde n'est pas solution ; une fonction d'onde réelle ne peut pas évoluer (exercice 3).

Avec $2A=1$ et $\lambda =3\mathrm{nm}$ : à gauche, $\mathrm{Re}\psi$ aux instants $T/4$ (trait fin), $T/8$ (tirets) et $0$ (nulle), et $|\psi {|}^2$ (trait épais), la même aux trois instants ; à droite, $\mathrm{Im}\psi$ aux instants $0$, $T/8$ et $T/4$. Quand une partie est plate, l'autre est maximale ; une corde n'a que l'une des deux.

4) L'onde plane. $A{\mathrm{e}}^{ikx}\cdot {\mathrm{e}}^{-i\omega t}$ est un produit : un état stationnaire, de densité $|A{|}^2$ uniforme et constante, et pourtant ses crêtes de phase avancent à $\omega /k$ : rien d'une onde stationnaire. « Stationnaire » qualifie la densité de présence, non l'onde : un état d'énergie bien définie dont les probabilités de position ne dépendent pas du temps, immobile devant un mur ou en mouvement comme l'onde plane.

5) Les rides du cuivre. Période $\lambda /2=1,5\mathrm{nm}$, donc $\lambda =3,0\mathrm{nm}$ ; avec $m^{\ast }=3,46\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, $$E_c=\frac{h^2}{2m^{\ast }{\lambda }^2}=\frac{(6,63\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 3,46\times 10^{-31}\times (3,0\times 10^{-9}{)}^2}=7,05\times 10^{-20}\mathrm{J}=0,44\mathrm{eV},$$ la valeur de la photoémission : deux mesures indépendantes s'accordent par de Broglie. Puis $v=\hslash k/m^{\ast }=6,4\times 10^5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\omega =E_c/\hslash =6,7\times 10^{14}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ (période $9\mathrm{fs}$), valeur qui dépend de l'origine choisie (exercice 3). Le microscope voit des rides immobiles non parce qu'il moyenne une oscillation trop rapide, mais parce que la densité d'un état stationnaire est rigoureusement constante. Dans l'expérience de Wiener (1890), au contraire, une plaque photographique enregistrait la moyenne temporelle d'une onde lumineuse stationnaire dont l'intensité instantanée oscillait. Le modèle est idéalisé (marche imparfaite, surface à deux dimensions, qui atténuent les rides au loin) ; la période, elle, est bien $\lambda /2$.

Ce que l'exercice installe. Superposer onde incidente et onde réfléchie, puis imposer la condition au mur : $\phi (0)=0$, ${\phi }^{\prime }$ discontinue. Et la distinction du programme : un état stationnaire a une densité de présence indépendante du temps ; une onde stationnaire a des instants où elle s'annule partout. Elles partagent ici leurs nœuds, pas leur dépendance temporelle ; l'onde plane est un état stationnaire qui se propage.