Énergie minimale par Heisenberg — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 5)

Énergie minimale par Heisenberg

Approche ondulatoire de la mécanique quantique · niveau 1 (application)

Énoncé

Retrouver, par l'inégalité de Heisenberg spatiale, l'ordre de grandeur de l'énergie fondamentale d'une particule de masse $m$ confinée dans un puits infini de largeur $L$ , et le comparer à $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ .

Corrigé

La particule est confinée dans un segment de longueur $L$ : l'étendue $Δ x$ de sa position ne peut dépasser $L /2$ . L'inégalité $Δ p Δ x \geq ℏ/2$ donne alors

$Δ p \geq \frac{ℏ}{2Δ x} ≳ \frac{ℏ}{L} .$

La particule ne quittant pas le puits, sa quantité de mouvement est nulle en moyenne, mais dispersée sur $\pm Δ p$ : son énergie, purement cinétique dans le puits, est au moins de l'ordre de

$E_{m i n} \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m} ≳ \frac{ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} .$

C'est la même dépendance en $ℏ^{2} / (m L^{2})$ que $E_{1} = π^{2} ℏ^{2} / (2 m L^{2})$ obtenue exactement, avec un facteur numérique $π^{2} \approx 10$ que l'estimation ne prétend pas donner : le confinement interdit l'état de repos $E = 0$ , et l'énergie de confinement croît comme $1/ L^{2}$ .