Établir les états de la particule libre : pourquoi $E>0$, pourquoi une onde complexe, et quelle onde stationnaire

La stratégie. La séparation des variables donne une équation linéaire à coefficients constants, dont le signe de $E$ fixe la nature des solutions. On les trie par un critère physique : $|\psi {|}^2$ doit pouvoir s'interpréter comme une densité de présence, au moins à un facteur près, donc rester bornée.

1) L'équation spatiale. Avec $\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{\mathrm{i}E}{\hslash }\psi$ et $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}={\phi }^{\prime \prime }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et/\hslash }$, on simplifie par l'exponentielle, jamais nulle : $${\phi }^{\prime \prime }(x)=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\phi (x).$$

2) $E<0$ : des exponentielles réelles, rejetées. Avec $\kappa =\sqrt{-2mE}/\hslash >0$, ${\phi }^{\prime \prime }={\kappa }^2\phi$ et $\phi =a{\mathrm{e}}^{\kappa x}+b{\mathrm{e}}^{-\kappa x}$. Si $a\ne 0$, $|\phi {|}^2\to \infty$ en $+\infty$ ; si $b\ne 0$, en $-\infty$. Or le rapport des probabilités de présence dans deux intervalles de même largeur, en $x_1$ et $x_2$, vaut $|\phi (x_2){|}^2/|\phi (x_1){|}^2$ : non borné, il rendrait la particule « infiniment plus probablement » à l'infini que dans toute région finie, ce qui n'a aucun sens. L'onde plane n'est pas normalisable non plus, mais ses rapports de probabilité restent finis (densité uniforme) : c'est une idéalisation acceptable, l'exponentielle réelle non. Classiquement, $E=E_c+V=E_c<0$ est impossible ; la mécanique quantique tolère $E<V$ localement (onde évanescente, rencontrée avec les potentiels constants par morceaux), jamais partout. Cas $E=0$ : ${\phi }^{\prime \prime }=0$, $\phi =a+bx$ ; pour $b\ne 0$, $|\phi {|}^2$ croît comme $x^2$, rejeté. Reste la constante : particule d'impulsion nulle, uniformément délocalisée, limite $k\to 0$ des ondes planes.

3) $E>0$ : les ondes planes, un spectre continu. Avec $k=\sqrt{2mE}/\hslash >0$, ${\phi }^{\prime \prime }+k^2\phi =0$, d'où $\phi =A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kx}$, bornée pour tous $A$, $B$, et, avec $\omega =E/\hslash$ : $$\psi (x,t)=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(kx+\omega t)},E=\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}.$$ Toute valeur $E>0$ convient : aucune condition aux limites ne sélectionne $k$, le spectre est continu. Une particule confinée (puits infini) n'a au contraire que des énergies discrètes : la quantification vient du confinement.

4) Pourquoi l'onde est complexe. Avec $\theta =kx-\omega t$ : $\frac{\partial \psi }{\partial t}=A\omega \sin \theta$ et $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=-k^{2}A\cos \theta$ ; l'équation exigerait $\mathrm{i}\hslash A\omega \sin \theta =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}A\cos \theta$ pour tous $x,t$ : imaginaire pur à gauche, réel à droite, les deux sont nuls et $A=0$. Ce n'est pas une solution. En général, si $\psi$ est réelle, $\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$ est imaginaire pur et $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$ réel : il faut $\frac{\partial \psi }{\partial t}=0$ et $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=0$, donc $\psi =a+bx$, statique (et constante, par la question 2). Autre lecture : dans $A\cos \theta =\frac{A}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+\frac{A}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$, le second terme porte ${\mathrm{e}}^{+\mathrm{i}\omega t}$, soit l'énergie $-\hslash \omega <0$, exclue. Conclusion : l'équation de Schrödinger, du premier ordre en temps avec un coefficient imaginaire, a des ondes complexes ; le cosinus de la corde résout l'équation de d'Alembert, du second ordre en temps, qui admet $\pm \omega$ pour un même $k$.

5) Un état stationnaire à franges fixes. Les deux termes portent le même facteur ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ : $\psi =\phi (x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et/\hslash }$ avec $\phi$ solution de l'équation linéaire de la question 1 : c'est un état stationnaire d'énergie $E$. Sa densité, avec $\alpha =\arg A-\arg B$ : $$|\psi {|}^2=|A{|}^2+|B{|}^2+A{B}^{\ast }{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}kx}+A^{\ast }B{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}kx}=|A{|}^2+|B{|}^2+2|A||B|\cos (2kx+\alpha ).$$ Indépendante du temps, de période $\pi /k=\lambda /2$, comprise entre $(|A|-|B|{)}^2$ et $(|A|+|B|{)}^2$ : $$C=\frac{2|A||B|}{|A{|}^2+|B{|}^2}.$$ Pour $B\to 0$, $C\to 0$ : l'onde plane progressive, de densité uniforme, état stationnaire dont la phase se déplace (« stationnaire » ne veut pas dire « immobile »). Pour $B=A$, $\psi =2A\cos (kx){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$, $|\psi {|}^2=4|A{|}^2{\cos }^2(kx)$, $C=1$ : des nœuds fixes en $x=\lambda /4+n\lambda /2$. Cette fonction a la forme d'une onde stationnaire, et c'est aussi un état stationnaire.

Comparaison avec la corde. La corde, $y=Y\cos (kx)\cos (\omega t)$, est réelle : à $t=T/4$ elle est plate partout, et l'amplitude en chaque point s'annule deux fois par période. Pour l'état $B=A$ ($A$ réel), $\mathrm{Re}\psi =2A\cos (kx)\cos (\omega t)$ se comporte exactement comme la corde ; mais $\mathrm{Im}\psi =-2A\cos (kx)\sin (\omega t)$ est en quadrature, et $|\psi {|}^2=(\mathrm{Re}\psi {)}^2+(\mathrm{Im}\psi {)}^2=4A^2{\cos }^2(kx)$ à chaque instant. La distinction exigible ne porte pas sur les nœuds : elle porte sur le facteur temporel, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ de module 1 (densité figée), contre $\cos (\omega t)$ qui s'annule.

6) Atomes ultra-froids : un réseau de densité de 295 nanomètres. $p=\frac{h}{{\lambda }_L}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{589\times 10^{-9}}=1,125\times 10^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $v=\frac{p}{m}=\frac{1,125\times 10^{-27}}{3,82\times 10^{-26}}=2,95\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, trois centimètres par seconde, et $$E=\frac{p^2}{2m}=1,66\times 10^{-29}\mathrm{J}=1,03\times 10^{-10}\mathrm{eV},\frac{E}{k_B}=1,2\times 10^{-6}\mathrm{K}:$$ un microkelvin, l'échelle des atomes refroidis par laser. La longueur d'onde vaut $h/p={\lambda }_L=589\mathrm{nm}$ : l'atome a reçu l'impulsion d'un photon, il en a la longueur d'onde. Les deux ondes ayant la même énergie, la superposition est l'état stationnaire de la question 5 : la densité forme un réseau immobile de période $\lambda /2=295\mathrm{nm}$, alors que chaque composante file à $3\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$. Avec $|B|=|A|/2$, $C=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=0,8$ (densité entre $\frac{1}{4}|A{|}^2$ et $\frac{9}{4}|A{|}^2$). Cas limites : $|B|\to 0$ efface les franges ; $p\to 0$ repousse leur période à l'infini, et l'on retrouve la constante du cas $E=0$. Limite du modèle : un nuage réel est fini, ses deux composantes s'écartent à $2v\approx 6\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; les ondes planes décrivent leur zone de recouvrement.

Ce que l'exercice installe. La séparation des variables donne ${\phi }^{\prime \prime }=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\phi$ ; le tri par le caractère borné élimine $E<0$, ne laisse que la constante pour $E=0$, et les ondes planes pour $E>0$, avec un spectre continu. L'équation, du premier ordre en temps, impose une onde complexe. La superposition de $\pm k$ à même énergie est un état stationnaire à franges fixes de période $\lambda /2$ et de contraste $2|A||B|/(|A{|}^2+|B{|}^2)$ : état stationnaire et onde stationnaire se distinguent par le facteur temporel, pas par les nœuds.