L'origine des énergies : ce que la phase cache, ce que la longueur d'onde montre

La stratégie. On reporte l'onde plane dans l'équation avec un potentiel constant : la relation de dispersion sépare ce qui dépend de l'origine des énergies (pulsation, phase) de ce qui n'en dépend pas (vecteur d'onde). Ce dernier seul est observable ; son changement à la traversée d'une surface se lit comme un indice.

1) $k$ ne dépend que de l'énergie cinétique. Avec $\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\mathrm{i}\omega \psi$ et $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=-k^2\psi$, l'équation $\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V_0\psi$ devient $\hslash \omega \psi =(\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V_0)\psi$ pour tous $x,t$, d'où $$\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V_0,k=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }(E>V_0).$$ $k$ ne dépend que de $E_c=E-V_0$, et $p=\hslash k=\sqrt{2m{E}_c}$ : de Broglie relie l'impulsion à l'énergie cinétique. La condition $E>V_0$ transpose l'exercice 1.

2) Une phase globale qui tourne. $$\mathrm{i}\hslash \frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial t}=(\mathrm{i}\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}+W\psi ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Wt/\hslash }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2{\psi }^{\prime }}{\partial x^2}+(V+W){\psi }^{\prime }.$$ La pulsation change, $\omega \to \omega +W/\hslash$ ; $|{\psi }^{\prime }{|}^2=|\psi {|}^2$, $k$ et $\lambda$ ne changent pas. Toute prédiction passant par $|\psi {|}^2$, la pulsation d'une onde isolée n'est pas observable ; seules les différences d'énergies le seront. Le vecteur d'onde se mesure : c'est ce que fait une diffraction (exercice 3).

3) Une vitesse de phase au choix. $E_c=54\times 1,602\times 10^{-19}=8,65\times 10^{-18}\mathrm{J}$, $p=\sqrt{2m_e{E}_c}=3,97\times 10^{-24}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v=p/m_e=4,36\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. a) $\frac{\omega }{k}=\frac{E_c}{p}=\frac{p}{2m_e}=\frac{v}{2}=2,18\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. b) $\frac{\omega }{k}=\frac{m_e{c}^2+E_c}{p}=\frac{8,19\times 10^{-14}}{3,97\times 10^{-24}}=2,06\times 10^{10}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 69c$. Aucune contradiction : la vitesse de phase est celle d'un point de phase constante, et la question 2 montre que la phase dépend d'une convention ; rien n'est transporté par la phase (la densité de l'onde plane est uniforme). La vitesse de l'électron est $v=p/m_e\ll c$ ($E_c/m_e{c}^2\approx 10^{-4}$, non relativiste).

4) Le métal « réfracte » l'électron. L'état est stationnaire : une seule énergie, donc une seule pulsation, des deux côtés ; seul $k$ change. Dans le vide ($E_c=54\mathrm{eV}$), ${\lambda }_{\text{vide}}=\frac{h}{\sqrt{2m_e{E}_c}}=\frac{6,626\times 10^{-34}}{3,97\times 10^{-24}}=0,1669\mathrm{nm}$. Dans le nickel, $E_c=E-V_0=69\mathrm{eV}$ : attiré par le métal, l'électron y accélère, et ${\lambda }_{\text{meˊtal}}=0,1476\mathrm{nm}$. D'où $$n=\frac{{\lambda }_{\text{vide}}}{{\lambda }_{\text{meˊtal}}}=\sqrt{\frac{E-V_0}{E}}=\sqrt{1+\frac{|V_0|}{E_c}}=\sqrt{\frac{69}{54}}=1,130.$$ Analogie exacte avec l'optique : à un dioptre, la fréquence se conserve et $\lambda$ change ($n={\lambda }_0/\lambda$) ; ici l'énergie, donc $\omega$, se conserve. Bethe a d'ailleurs tiré des mesures de Davisson et Germer, en 1928, la valeur du potentiel interne du nickel.

5) Cas limites. À $54\mathrm{keV}$, $n=\sqrt{1+15/54000}=1,00014$ : réfraction négligeable (microscopes électroniques). À $5\mathrm{eV}$, $n=\sqrt{1+3}=2,00$ : la longueur d'onde est divisée par deux en entrant. Le potentiel interne compte dès que $E_c$ n'est pas très grand devant $|V_0|$ : en diffraction d'électrons lents, qui sondent les surfaces. L'indice est sans dimension, rapport d'énergies sous une racine.

Ce que l'exercice installe. Dans un potentiel uniforme, $\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}+V_0$ : le vecteur d'onde ne dépend que de l'énergie cinétique, la pulsation dépend de l'origine des énergies. Changer d'origine multiplie $\psi$ par une phase globale : rien d'observable ; la vitesse de phase est une convention, une diffraction mesure $k$. À une surface, l'énergie se conserve et $\lambda$ change : un indice électronique $\sqrt{1+|V_0|/E_c}$.