physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La jonction tunnel d'un qubit supraconducteur

Approche ondulatoire de la mécanique quantique · E. L'effet tunnel · niveau 2

Énoncé

Les qubits supraconducteurs les plus répandus reposent sur une jonction tunnel aluminium / oxyde d'aluminium / aluminium : deux électrodes d'aluminium séparées par une couche d'alumine amorphe épaisse d'un à deux nanomètres, obtenue en oxydant la surface de l'électrode inférieure. Pour les électrons qui la traversent, on modélise l'oxyde par une barrière rectangulaire de hauteur effective $V_{0} - E = 2, 0 eV$ , la masse étant celle de l'électron libre ( $ℏ^{2} / (2 m_{e}) = 0, 0381 eV n m^{2}$ ). Données : la conductance de la jonction est proportionnelle à sa surface $S$ et au coefficient de transmission ; à hauteur fixée, sa résistance (mesurée à température ambiante) varie donc comme $R_{N} \propto e^{2 κa} / S$ ; la fréquence du qubit varie comme $f \propto 1/ R_{N}$ (admis). Pour une jonction carrée de $200 nm$ de côté, $R_{N} \approx 8 kΩ$ et $f \approx 5 GHz$ . Une couche atomique d'oxyde est épaisse d'environ $0, 2 nm$ . On veut fixer la fréquence de chaque qubit à $1 %$ près.

1) Calculer $κ$ et la longueur $1/ κ$ de décroissance dans l'oxyde. L'approximation $κa ≫ 1$ est-elle justifiée ?

2) De quel facteur $R_{N}$ est-elle multipliée si l'épaisseur augmente de $0, 1 nm$ ? d'une couche atomique ?

3) Quelle précision sur $R_{N}$ la précision de $1 %$ sur la fréquence exige-t-elle ? À quelle précision sur l'épaisseur cela correspond-il ? Comparer à une couche atomique et conclure.

4) La lithographie définit le côté de la jonction à $\pm 5 nm$ près. Effet sur $R_{N}$ et sur $f$ ? Lequel des deux défauts de fabrication domine ?

5) Les fabricants mesurent la résistance de chaque jonction à température ambiante, puis l'ajustent en chauffant localement la jonction avec un laser (le recuit modifie l'oxyde et déplace $R_{N}$ , de quelques pour cent jusqu'à une dizaine de pour cent). Pourquoi est-ce la seule voie ?

Corrigé

La stratégie. Tout tient dans un ordre de grandeur, $1/ κ$ : il fixe la sensibilité de la résistance à l'épaisseur, qu'on compare ensuite aux tolérances de fabrication.

1) La longueur de décroissance. $κ = 2, 0/0, 0381 = 7, 25 n m^{- 1}$ , $1/ κ = 0, 138 nm$ , moins qu'une couche atomique. Pour $a = 1$ à $2 nm$ , $κa = 7$ à $14 ≫ 1$ : l'approximation exponentielle est excellente, et $R_{N} \propto e^{2 κa}$ est justifiée.

2) Une couche atomique. À surface fixée, $\frac{R _{N} ( a + δ a )}{R _{N} ( a )} = e^{2 κ δ a}$ , indépendamment de $a$ : $δ a = 0, 1 nm : e^{2 \times 7, 25 \times 0, 1} = e^{1, 45} = 4, 26; δ a = 0, 2 nm : e^{2, 90} = 18, 1.$ Une couche atomique de plus multiplie la résistance par $18$ , et la fréquence du qubit varie en conséquence d'un facteur $18 \approx 4$ .

3) La tolérance. Comme $f \propto R_{N}^{- 1/2}$ , $\frac{δ f}{f} = - \frac{1}{2} \frac{δ R _{N}}{R _{N}}$ : $1 %$ sur la fréquence exige $2 %$ sur la résistance. Or $\frac{δ R _{N}}{R _{N}} \approx 2 κ δ a$ , d'où $δ a = \frac{0 , 02}{2 κ} = \frac{0 , 02}{2 \times 7 , 25 n m ^{- 1}} = 1, 4 \times 1 0^{- 3} nm = 1, 4 pm .$ C'est moins d'un centième d'une couche atomique ( $0, 2 nm /1, 4 pm \approx 150$ ). Aucun procédé ne contrôle l'épaisseur d'une couche d'oxyde à ce niveau. La résistance mesurée moyenne l'épaisseur sur toute la surface de la jonction, ce qui réduit les fluctuations ; les dispersions observées d'une jonction à l'autre restent de l'ordre de quelques pour cent, au-dessus des $2 %$ exigés.

4) La surface. $S$ est le carré du côté $c$ : $\frac{δ S}{S} = 2 \frac{δ c}{c} = 2 \times \frac{5}{200} = 5 %$ , donc $R_{N}$ varie de $\mp 5 %$ et $f$ de $\pm 2, 5 %$ . C'est déjà trop, mais la sensibilité est algébrique : une erreur de $\pm 5 nm$ sur $200 nm$ reste une petite erreur. Celle de l'épaisseur est exponentielle : un dixième de couche atomique ( $0, 02 nm$ ) change $R_{N}$ de $e^{0, 29} - 1 = 34 %$ . Le défaut d'épaisseur domine, de loin.

5) Régler après coup. Puisque l'épaisseur ne peut pas être fabriquée au picomètre près, on renonce à la fabrication à l'identique : on mesure $R_{N}$ de chaque jonction (une simple mesure de résistance, à température ambiante, avant de refroidir la puce), on en déduit sa fréquence future, et l'on corrige la jonction par un recuit local, qui modifie la structure de l'oxyde et déplace $R_{N}$ de la quantité voulue. La plage de réglage (une dizaine de pour cent) couvre la dispersion de fabrication (quelques pour cent) ; la précision visée ( $2 %$ sur $R_{N}$ ) devient accessible. La même exponentielle qui permet au microscope à effet tunnel de « voir » un atome interdit de fabriquer deux jonctions tunnel identiques.

Ce que l'exercice installe. Un ordre de grandeur, $1/ κ = 0, 14 nm$ , suffit à dire ce qui est possible : la résistance d'une jonction tunnel varie d'un facteur $18$ par couche atomique, et une tolérance de $2 %$ correspond à $1, 4 pm$ . Une sensibilité exponentielle ne se maîtrise pas à la fabrication : elle se règle après coup, par la mesure.

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