physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le coefficient de transmission, un rapport de courants

Approche ondulatoire de la mécanique quantique · E. L'effet tunnel · niveau 2

Énoncé

Des électrons de conduction de l'arséniure de gallium (masse effective $m^{*} = 0, 067 m_{e}$ , $ℏ^{2} / (2 m^{*}) = 0, 569 eV n m^{2}$ ), d'énergie cinétique $E = 50 meV$ , arrivent depuis la gauche sur une barrière d'alliage AlGaAs de hauteur $V_{0} = 0, 25 eV$ et de largeur $a$ ; la masse effective est prise identique partout. Le faisceau incident transporte une intensité $I_{i} = 1 nA$ . À gauche, la partie spatiale est $φ = A_{i} e^{i k_{1} x} + A_{r} e^{- i k_{1} x}$ ; à droite, $φ = A_{t} e^{i k_{3} x}$ . Le courant de probabilité est admis sous la forme $j = ∣ A ∣^{2} ℏ k / m^{*}$ ; si $∣ A ∣^{2}$ représente le nombre d'électrons par unité de longueur du faisceau, $j$ est le nombre d'électrons qui passent par seconde, et l'intensité électrique vaut $I = e j$ .

Barrière symétrique (même énergie potentielle nulle des deux côtés). Valeurs fournies du coefficient de transmission, calculées par l'expression du cours :

$a$ (nm)	$2$	$3$	$5$	$10$
$T$	$0, 225$	$0, 0717$	$6, 79 \times 1 0^{- 3}$	$1, 81 \times 1 0^{- 5}$

Barrière sous tension. On applique une tension qui abaisse de $0, 10 eV$ l'énergie potentielle à droite de la barrière ; dans un modèle simplifié, la barrière reste rectangulaire et $V = - 0, 10 eV$ pour $x > a$ . Pour $a = 3 nm$ , la résolution des raccordements (non demandée) donne $\frac{A _{t}}{A _{i}}^{2} = 0, 0500, \frac{A _{r}}{A _{i}}^{2} = 0, 9133.$

1) Calculer la vitesse $v$ des électrons incidents, le nombre d'électrons par unité de longueur du faisceau, et la distance moyenne entre deux électrons consécutifs. La comparer à la largeur de la barrière et à la longueur d'onde de de Broglie. Est-il justifié de traiter « une particule à la fois » ?

2) Exprimer $T$ à l'aide des amplitudes. Pourquoi, pour la barrière symétrique, $T = ∣ A_{t} / A_{i} ∣^{2}$ ? Calculer l'intensité transmise pour les quatre largeurs. Comment $T$ dépend-il de $a$ pour les grandes largeurs ? Sur quelle longueur $T$ est-il divisé par dix ?

3) Barrière sous tension : calculer $k_{3} / k_{1}$ , puis $T$ et $R$ . Pourquoi $T \neq = ∣ A_{t} / A_{i} ∣^{2}$ ? Vérifier que $R + T = 1$ et interpréter.

4) Que devient l'intensité transmise si l'on double l'intensité incidente ? si l'on double la largeur de la barrière, de $5$ à $10 nm$ ?

Corrigé

La stratégie. Le coefficient de transmission est une probabilité de passage par particule ; on la mesure en comptant des particules par seconde de part et d'autre, c'est-à-dire par des courants. On ne résout aucun raccordement : $T$ et les rapports d'amplitudes sont fournis, on les exploite et on les recoupe.

1) Un électron à la fois. L'énergie est purement cinétique à gauche : $v = \frac{2 E}{m ^{*}} = \frac{2 \times 0 , 050 \times 1 , 602 \times 1 0 ^{- 19}}{0 , 067 \times 9 , 109 \times 1 0 ^{- 31}} = 5, 12 \times 1 0^{5} m s^{- 1} .$ Le faisceau transporte $I_{i} / e = 6, 24 \times 1 0^{9}$ électrons par seconde ; à la vitesse $v$ , cela fait une densité linéique $n = \frac{I _{i}}{e v} = \frac{1 0 ^{- 9}}{1 , 602 \times 1 0 ^{- 19} \times 5 , 12 \times 1 0 ^{5}} = 1, 22 \times 1 0^{4} m^{- 1}$ , soit un électron tous les $82 μ m$ . La longueur d'onde de de Broglie, $λ = h / (m^{*} v) = 21 nm$ , et la barrière, quelques nanomètres, sont des milliers de fois plus petites : chaque électron traverse la zone de la barrière seul. Le coefficient $T$ est donc la probabilité de passage d'un électron, et le faisceau en fait la statistique ; $∣ A ∣^{2} = n$ et $j = n v = I / e$ .

2) $T$ par les courants. Avec le courant admis, $T = \frac{j _{t}}{j _{i}} = \frac{∣ A _{t} ∣ ^{2} ℏ k _{3} / m ^{*}}{∣ A _{i} ∣ ^{2} ℏ k _{1} / m ^{*}} = \frac{k _{3}}{k _{1}} \frac{A _{t}}{A _{i}}^{2} .$ Pour la barrière symétrique, l'énergie cinétique est la même des deux côtés, $k_{3} = k_{1}$ , et $T = ∣ A_{t} / A_{i} ∣^{2}$ . L'intensité transmise vaut $I_{t} = T I_{i}$ : $225 pA$ , $71, 7 pA$ , $6, 79 pA$ et $18 fA$ pour $a = 2$ , $3$ , $5$ et $10 nm$ . Dans la barrière, $κ = (0, 25 - 0, 05) /0, 569 = 0, 593 n m^{- 1}$ , et $κa = 1, 19$ ; $1, 78$ ; $2, 97$ ; $5, 93$ . Pour les grandes largeurs, $T \approx T_{0} e^{- 2 κa}$ avec $T_{0} = \frac{16 \times 0 , 05 \times 0 , 20}{0 , 2 5 ^{2}} = 2, 56$ : le préfacteur se simplifie dans un rapport, et $\frac{T ( 5 nm )}{T ( 10 nm )} = \frac{6 , 79 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 81 \times 1 0 ^{- 5}} = 376 = e^{2 κ \times 5 nm} = e^{5, 93} .$ $T$ est divisé par $10$ chaque fois que $a$ augmente de $ln 10/ (2 κ) = 1, 94 nm$ . En échelle logarithmique, $T (a)$ est une droite de pente $- 2 κ$ , que la courbe exacte rejoint dès $κa \approx 2$ .

3) La barrière sous tension. À droite, l'énergie cinétique vaut $E - (- 0, 10) = 0, 15 eV$ , trois fois celle de gauche : $k_{3} / k_{1} = 0, 15/0, 05 = 3 = 1, 73$ . Alors $T = \frac{k _{3}}{k _{1}} \frac{A _{t}}{A _{i}}^{2} = 1, 732 \times 0, 0500 = 0, 0867, R = \frac{∣ A _{r} ∣ ^{2} ℏ k _{1} / m ^{*}}{∣ A _{i} ∣ ^{2} ℏ k _{1} / m ^{*}} = 0, 9133,$ et $R + T = 1, 0000$ . $T \neq = ∣ A_{t} / A_{i} ∣^{2}$ parce que les électrons transmis vont $1, 73$ fois plus vite que les électrons incidents : à nombre égal d'électrons par seconde, le faisceau transmis est $1, 73$ fois moins dense, et $∣ A_{t} ∣^{2}$ , qui mesure une densité, sous-estime la transmission. Ce qui se conserve en régime stationnaire, ce n'est pas la densité mais le flux : aucun électron ne s'accumule dans la barrière, tout électron incident est réfléchi ou transmis, d'où $j_{i} = ∣ j_{r} ∣ + j_{t}$ , c'est-à-dire $R + T = 1$ . Le programme définit $T$ par les courants pour cette raison. La tension augmente ici la transmission ( $0, 0867$ contre $0, 0717$ sans tension) : c'est le début de la caractéristique d'une diode à effet tunnel.

4) Linéarité et exponentielle. Les électrons passent un à un, indépendamment, et l'équation de Schrödinger est linéaire : $T$ ne dépend pas de l'intensité du faisceau, et l'intensité transmise double si l'intensité incidente double. Doubler la largeur de $5$ à $10 nm$ divise en revanche l'intensité transmise par $376$ , et non par $2$ : $6, 79 pA$ deviennent $18 fA$ .

Ce que l'exercice installe. $T$ compte des particules par seconde, pas des amplitudes : quand la vitesse change de part et d'autre de la barrière, le rapport des courants porte le rapport $k_{3} / k_{1}$ des vitesses, et la conservation du courant donne $R + T = 1$ . Le courant transmis est proportionnel au courant incident et exponentiellement sensible à la largeur : une décade tous les $ln 10/ (2 κ)$ .

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